Question

如圖，質(zhì)量分別為m和M的兩個(gè)星球A和B在引力作用下都繞O點(diǎn)做勻速周運(yùn)動(dòng)，星球A和B兩者中心之間距離為L(zhǎng)．已知A、B的中心和O三點(diǎn)始終共線，A和B分別在O的兩側(cè)．引力常數(shù)為G．
（1）求兩星球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期．
（2）在地月系統(tǒng)中，若忽略其它星球的影響，可以將月球和地球看成上述星球A和B，月球繞其軌道中心運(yùn)行為的周期記為T₁．但在近似處理問(wèn)題時(shí)，常常認(rèn)為月球是繞地心做圓周運(yùn)動(dòng)的，這樣算得的運(yùn)行周T₂．已知地球和月球的質(zhì)量分別為5.98×10²⁴kg 和 7.35×10²²kg．求T₂與T₁兩者平方之比．（結(jié)果保留3位小數(shù)）

Answer 1

分析：這是一個(gè)雙星的問(wèn)題，A和B繞O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們之間的萬(wàn)有引力提供各自的向心力，
A和B有相同的角速度和周期，結(jié)合牛頓第二定律和萬(wàn)有引力定律解決問(wèn)題．

解答：解：（1）A和B繞O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們之間的萬(wàn)有引力提供向心力，則A和B的向心力大小相等，
且A和B和O始終共線，說(shuō)明A和B有相同的角速度和周期，因此有：
 mω²r=Mω²R，r+R=L
聯(lián)立解得：R=

m

m+M

L，r=

M

m+M

L
對(duì)A根據(jù)牛頓第二定律和萬(wàn)有引力定律得：

GMm

L2

=m

4π2

T2

?

M

m+M

L      
化簡(jiǎn)得：T=2π

L3 G(M+m)

   
（2）將地月看成雙星，由（1）得 T₁=2π

L3 G(M+m)

    
將月球看作繞地心做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和萬(wàn)有引力定律得：

GMm

L2

=m

4π2

T2

L    
化簡(jiǎn)得：T₂=2π

L3 GM

  
所以兩種周期的平方比值為：(

T2

T1

)2=

M+m

M

=

5.98×1024+7.35×1022

5.98×1024

=1.01
故答案為：（1）兩星球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期是2π

L3 G(M+m)

；     
（2）T₂與T₁兩者平方之比為1.01．

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于雙星問(wèn)題，我們要抓住它的特點(diǎn)，即兩星球的萬(wàn)有引力提供各自的向心力和兩星球具有共同的周期．