Question

2．傾角為α的斜面體（斜面光滑且足夠長(zhǎng)）固定在水平地面上，斜面頂端與勁度系數(shù)為k，自然長(zhǎng)度為L(zhǎng)₀的輕質(zhì)彈簧相連，彈簧的另一端連接著質(zhì)量為m的物塊，壓縮彈簧使其長(zhǎng)度為$\frac{{L}_{0}}{4}$時(shí)將物塊由靜止開(kāi)始釋放，重力加速度為g，求：
（1）物塊處于平衡位置時(shí)彈簧的長(zhǎng)度L；
（2）證明物塊做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)；
（3）求彈簧的最大伸長(zhǎng)量x．

Answer 1

分析 （1）物塊處于平衡位置時(shí)，受重力、支持力和彈簧的彈力，三力平衡，根據(jù)平衡條件和胡克定律列式求解；
（2）抓住x表示物塊相對(duì)于平衡位置的位移，根據(jù)牛頓第二定律推導(dǎo)回復(fù)力是否滿足F=-kx，從而證明；
（3）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)具有對(duì)稱性，先求解出振幅，然后確定最大伸長(zhǎng)量x．

解答 解：（1）物塊處于平衡位置時(shí)，受重力、支持力和彈簧的彈力，此時(shí)彈簧的彈力等于重力沿斜面分力，由平衡條件得
  k△x=mgsinα
故彈簧的伸長(zhǎng)量△x=$\frac{mgsinα}{k}$
所以彈簧長(zhǎng)度 L=L₀+△x=L₀+$\frac{mgsinα}{k}$
（2）取沿斜面向下方向?yàn)閤軸正方向建立x軸，原點(diǎn)在平衡位置．
當(dāng)物塊的位移大小為x時(shí)，彈簧伸長(zhǎng)量為x+△x，物塊所受合力為：
  F_合=mgsinα-k（x+△x）
結(jié)合k△x=mgsinα
聯(lián)立以上各式可得：F_合=-kx
可知物塊作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)．
（3）根據(jù)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性，壓縮彈簧使其長(zhǎng)度為$\frac{{L}_{0}}{4}$時(shí)將物塊由靜止開(kāi)始釋放，故其振幅為：
  A=$\frac{3{L}_{0}}{4}$+△x=$\frac{3{L}_{0}}{4}$+$\frac{mgsinα}{k}$
故其最大伸長(zhǎng)量為：x=A+△x=$\frac{3{L}_{0}}{4}$+$\frac{mgsinα}{k}$+$\frac{mgsinα}{k}$=$\frac{3{L}_{0}}{4}$+$\frac{2mgsinα}{k}$
答：
（1）物塊處于平衡位置時(shí)彈簧的長(zhǎng)度L是L₀+$\frac{mgsinα}{k}$；
（2）證明見(jiàn)上；
（3）彈簧的最大伸長(zhǎng)量x是$\frac{3{L}_{0}}{4}$+$\frac{2mgsinα}{k}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查牛頓第二定律和胡克定律的綜合運(yùn)用，關(guān)鍵是理清過(guò)程，確定出平衡位置，得出振幅的大小是解決本題的關(guān)鍵．