Question

4．如圖所示，是《來自星星的你》中的男豬腳都教授以前居住 KMT184.05星球，是目前世界上唯一由韓國人確認的除地球之外有人類居住的星球．400年前，都教授不遠萬里，乘坐飛船來到韓國．已知都教授所乘飛船，在半徑為R的KMT184.05星球上空離該星表面高h的圓形軌道上繞KMT184.05星球飛行，環(huán)繞n周飛行時間為t，已知萬有引力常量為G
求：KMT184.05星球質量M和平均密度ρ

Answer 1

分析 飛船繞星球飛行，環(huán)繞n周飛行時間為t，求出飛船運行的周期．由星球的萬有引力提供飛船的向心力列方程求出星球的質量，由密度公式求出星球的平均密度．

解答 解：飛船繞星球飛行，環(huán)繞n周飛行時間為t，
飛船運行的周期T=$\frac{t}{n}$
根據萬有引力提供向心力
$\frac{GMm}{r^2}=m\frac{{4{π^2}}}{T^2}r$
T=$\frac{t}{n}$，r=R+h
解得M=$\frac{{{{4π}^{2}n}^{2}（R+h）}^{3}}{{Gt}^{2}}$
根據密度定義得ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{3{{πn}^{2}（R+h）}^{3}}{{{Gt}^{2}R}^{3}}$．
答：KMT184.05星球質量是$\frac{{{{4π}^{2}n}^{2}（R+h）}^{3}}{{Gt}^{2}}$，平均密度是$\frac{3{{πn}^{2}（R+h）}^{3}}{{{Gt}^{2}R}^{3}}$．

點評 本題題目看似很長，要耐心讀題，抓住要點，建立物理模型：探測器繞土星做勻速圓周運動，土星的萬有引力提供向心力．