Question

18．如圖所示，無限長的光滑金屬導(dǎo)軌PQ、MN固定在水平面上，導(dǎo)軌間距為l，磁感應(yīng)強度大小為B、方向豎直向下的勻強磁場穿過導(dǎo)軌平面．兩根長均為l、質(zhì)量為m、電阻為R的金屬棒a、b放在導(dǎo)軌上，且兩者相距較遠(yuǎn)，初始時b棒被束縛，給a棒一個水平向右的速度v₀，當(dāng)a棒的速度減為$\frac{{v}_{0}}{2}$時，解除對b棒的束縛，不計導(dǎo)軌電阻，兩金屬棒在運動過程中始終與導(dǎo)軌垂直．求：
（1）解除對b棒束縛前，a棒通過的位移x和棒中流過的電荷量q；
（2）從解除對b棒束縛到兩棒距離最近的過程中中，每根棒產(chǎn)生的熱量Q．

Answer 1

分析 （1）對金屬棒a根據(jù)動量定理和法拉第電磁感應(yīng)定律、閉合電路的歐姆定律求解a棒通過的位移；對金屬棒a根據(jù)動量定理求解流過a棒的電荷量；
（2）根據(jù)動量守恒定律求解共同速度，根據(jù)能量守恒定律求解每根棒產(chǎn)生的熱量Q．

解答 解：（1）對金屬棒a根據(jù)動量定理可得：-BILt=$m\frac{{v}_{0}}{2}$-mv₀，
根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律和閉合電路的歐姆定律可得：I=$\frac{BL\overline{v}}{2R}$，
解得：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\overline{v}t}{2R}$=$\frac{1}{2}m{v}_{0}$，
所以a棒通過的位移為：x=$\overline{v}t$=$\frac{mR{v}_{0}}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
對金屬棒a根據(jù)動量定理可得：-BILt=$m\frac{{v}_{0}}{2}$-mv₀，
其中流過a棒的電荷量為：q=It=$\frac{m{v}_{0}}{2BL}$；
（2）解除對b棒束縛到兩棒距離最近，系統(tǒng)水平方向不受外力作用，動量守恒，此時二者的速度相等；
根據(jù)動量守恒定律可得：$m•\frac{{v}_{0}}{2}=2mv$
解得共同速度v=$\frac{1}{4}{v}_{0}$；
根據(jù)能量守恒定律可得：$\frac{1}{2}m（\frac{{v}_{0}}{2}）^{2}=\frac{1}{2}×2m{v}^{2}+2Q$，
解得：Q=$\frac{1}{32}m{v}_{0}^{2}$．
答：（1）解除對b棒束縛前，a棒通過的位移為$\frac{mR{v}_{0}}{{B}^{2}{L}^{2}}$；棒中流過的電荷量為$\frac{m{v}_{0}}{2BL}$；
（2）從解除對b棒束縛到兩棒距離最近的過程中中，每根棒產(chǎn)生的熱量為$\frac{1}{32}m{v}_{0}^{2}$．

點評 對于電磁感應(yīng)問題研究思路常常有兩條：
一條從力的角度，根據(jù)平衡條件或牛頓第二定律列出方程；
另一條是能量，分析涉及電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的能量轉(zhuǎn)化問題，根據(jù)動能定理、功能關(guān)系、動量守恒定律等等列方程求解．