Question

9．如圖所示，平面直角坐標系的y軸豎直向上，x軸上的P點與Q點關于坐標原點O對稱，距離為2a．有一簇質量為m、帶電量為+q的帶電微粒，在xoy平面內，從P點以相同的速率斜向右上方的各個方向射出（即與x軸正方向的夾角θ，0°＜θ＜90°），經過某一個垂直于xoy平面向里、磁感應強度大小為B的有界勻強磁場區(qū)域后，最終會聚到Q點，這些微粒的運動軌跡關于y軸對稱．為保證微粒的速率保持不變，需要在微粒的運動空間再施加一個勻強電場．重力加速度為g．求：
（1）勻強電場場強E的大小和方向；
（2）若微粒在磁場中運動的軌道半徑為a，求與x軸正方向成30°角射出的微粒從P點運動到Q點的時間t；
（3）若微粒從P點射出時的速率為v，試推出在x＞0的區(qū)域中磁場的邊界點坐標x與y之間滿足的關系式．

Answer 1

分析 （1）離子進入磁場后，電場力下重力合力為0，受到洛倫茲力作用做勻速圓周運動．
（2）先根據幾何關系求出進入和離開磁場時的坐標，求出粒子運動的路程，根據時間等于路程除以速率求解；
（3）根據幾何關系表示出x、y與半徑r的關系，帶入數(shù)據即可得出x與y之間滿足的關系式．

解答 解：（1）由題意可知，微粒所受電場力與重力平衡，即qE=mg
解得：$E=\frac{mg}{q}$，方向豎直向上． 
（2）根據題意畫出微粒的運動軌跡如圖所示，設A、C分別為微粒在磁場中運動的射入點和射出點．根據幾何關系可得：
A點坐標為（$-\frac{a}{2}$，$\frac{{\sqrt{3}}}{6}a$），C點坐標為（$\frac{a}{2}$，$\frac{{\sqrt{3}}}{6}a$）
微粒運動的路程為 $s=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}a+\frac{π}{3}a$
設微粒運動的速率為v，它做勻速圓周運動，受到的洛倫茲力提供向心力，即：$Bqv=m\frac{v^2}{r}$
時間：$t=\frac{s}{v}$
解得：$t=\frac{{（2\sqrt{3}+π）m}}{3qB}$
（3）如圖所示，設微粒在磁場中運動的軌道半徑為r，在x＞0的區(qū)域內，設微粒離開磁場后的速度方向與x軸夾角為θ．根據幾何關系可得：x=rsinθ$y=（\frac{a}{cosθ}-rtanθ）sinθ$
代入相關數(shù)據并化簡得：$y=\frac{{（ax-{x^2}）Bq}}{{\sqrt{{m^2}{v^2}-{B^2}{q^2}{x^2}}}}$

答：（1）勻強電場場強大小是$\frac{mg}{q}$，方向豎直向上
    （2）微粒從P點運動到Q點的時間是$\frac{（2\sqrt{3}+π）m}{3qB}$；
    （3）微粒在x＞0的區(qū)域中飛出磁場的位置坐標x與y之間的關系式：$\frac{（ax-{x}^{2}）Bq}{\sqrt{{m}^{2}{v}^{2}-{B}^{2}{q}^{2}{x}^{2}}}$

點評 本題是帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，要求同學們能畫出粒子運動的軌跡，結合幾何關系求解，知道半徑公式及周期公式，難度較大．