Question

如圖甲所示，一個(gè)質(zhì)量為m，電荷量為+q的微粒（不計(jì)重力），初速度為零，經(jīng)兩金屬板間電場(chǎng)加速后，沿y軸射入一個(gè)邊界為矩形的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里．磁場(chǎng)的四條邊界分別是y=0，y=a，x=-1.5a，x=1.5a．兩金屬板間電壓隨時(shí)間均勻增加，如圖乙所示．由于兩金屬板間距很小，微粒在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間極短，可認(rèn)為微粒在加速運(yùn)動(dòng)過程中電場(chǎng)恒定．
（1）求微粒分別從磁場(chǎng)上、下邊界射出時(shí)對(duì)應(yīng)的電壓范圍；
（2）微粒從磁場(chǎng)左側(cè)邊界射出時(shí)，求微粒的射出速度相對(duì)其進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)初速度偏轉(zhuǎn)角度的范圍，并確定在左邊界上出射范圍的寬度d．

Answer 1

分析：（1）作出從上邊界和下邊界離開磁場(chǎng)的軌跡的臨界情況，通過幾何關(guān)系求出臨界的半徑，從而求出臨界的速度，根據(jù)電場(chǎng)力做功求出電壓的范圍．
（2）作出從左側(cè)邊界離開磁場(chǎng)軌跡的臨界情況，結(jié)合幾何關(guān)系求出在左邊界上出射范圍的寬度d．

解答：解：（1）當(dāng)微粒運(yùn)動(dòng)軌跡與上邊界相切時(shí)，由圖a中幾何關(guān)系可知，R₁=a．
微粒做圓周運(yùn)動(dòng)qv1B=m

v12

R1

．
微粒在電場(chǎng)中加速qU1=

1

2

mv12．
由以上各式可得U1=

qB2a2

2m

．
所以微粒從上邊界射出的電壓范圍為U1′＞

qB2a2

2m

．
當(dāng)微粒由磁場(chǎng)區(qū)域左下角射出時(shí)，由圖b中幾何關(guān)系可知，
R₂=0.75a．
微粒做圓周運(yùn)動(dòng)qv2B=m

v22

R2

微粒在電場(chǎng)中加速qU2=

1

2

mv22
由以上各式可得U2=

9qB2a2

32m

．
所以微粒從下邊界射出的電壓范圍為0＜U2′≤

9qB2a2

32m

．
（2）當(dāng)微粒運(yùn)動(dòng)軌跡與上邊界相切時(shí)
sin∠AO1C=

AC

AO1

=

1

2

，∠AO₁C=30°．
由圖中幾何關(guān)系可知此時(shí)速度方向偏轉(zhuǎn)了120°，微粒由左下角射出磁場(chǎng)時(shí)，速度方向偏轉(zhuǎn)了180°，所以微粒的速度偏轉(zhuǎn)角度范圍的寬度為120°～180°．
左邊界出射范圍d=R1cos30°=

3

2

a．
答：（1）微粒分別從磁場(chǎng)上、下邊界射出時(shí)對(duì)應(yīng)的電壓范圍分別為U1′＞

qB2a2

2m

、0＜U2′≤

9qB2a2

32m

．
（2）在左邊界上出射范圍的寬度d=R1cos30°=

3

2

a．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的臨界狀況，結(jié)合幾何關(guān)系，運(yùn)用牛頓第二定律和動(dòng)能定理進(jìn)行求解．