Question

16．如圖所示，正方形區(qū)域abcd邊長(zhǎng)為4L，O為ac的中點(diǎn)，e為ab的中點(diǎn)．在△abO區(qū)域（包括ab邊）、△bcO區(qū)域（包括bc）分別有垂直紙面向外和向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相同．在△acd區(qū)域有水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E（E未知）．一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的正粒子以速率v₀從e點(diǎn)垂直射入磁場(chǎng)，從ac邊上的p點(diǎn)（p點(diǎn)未標(biāo)注）進(jìn)入電場(chǎng)．已知粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑為L(zhǎng)，不計(jì)粒子重力及空氣阻力，求：
（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B和粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期T；
（2）粒子從e點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到p點(diǎn)的時(shí)間t；
（3）若粒子從P點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)后從aO邊上某點(diǎn)再次進(jìn)入磁場(chǎng)，直接到達(dá)a點(diǎn)，$\frac{E}{B}$多大？

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律可以求出磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（2）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求出粒子轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角，然后根據(jù)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期求出粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（3）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)、在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律與牛頓第二定律求出E與B，然后求出它們的比值．

解答 解：（1）由題意可知，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑：r=L，
粒子做圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律有：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{L}$，解得：B=$\frac{m{v}_{0}}{qL}$，
粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πr}{{v}_{0}}$=$\frac{2πL}{{v}_{0}}$；
（2）粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：

O₁、O₂分別為該粒子在兩磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡圓心，
粒子在aOb磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)$\frac{π}{2}$圓弧從g點(diǎn)進(jìn)入bOc磁場(chǎng)，
在bOc磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)π從p點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的圓心角為$\frac{3}{2}$π，
粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t=$\frac{3}{4}$T=$\frac{3πL}{2{v}_{0}}$；
（3）粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)t₁從n點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，pn距離為s₁，速度v，
沿電場(chǎng)方向速度v_y，v與v_y夾角為θ，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有：
s₁sin45°=$\frac{{v}_{y}}{2}$t₁，s₂cos45°=v₀t，
解得：v_y=2v₀，tanθ=$\frac{{v}_{0}}{{v}_{y}}$=0.5，v=$\sqrt{{v_0}^2+{v_y}^2}$=$\sqrt{5}$v₀．
粒子在磁場(chǎng)中半徑r，由洛倫茲力公式和牛頓第二定律有：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：r=$\sqrt{5}$L，
由幾何關(guān)系有：$\overline{an}$=2rsin（45°-θ），解得：$\overline{an}$=$\sqrt{2}$L，
$\overline{pc}$=$\sqrt{2}$L，s₁=$\overline{ac}-\overline{pc}-\overline{an}$=4$\sqrt{2}$L-2$\sqrt{2}$L=2$\sqrt{2}$L，解得：t₁=$\frac{L}{{v}_{0}}$，
由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有：v_y=at₁=$\frac{qE}{m}$t₁，解得：E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{qL}$，即：$\frac{E}{B}$=v₀．
答：（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B為$\frac{m{v}_{0}}{qL}$，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期T為$\frac{2πL}{{v}_{0}}$；
（2）粒子從e點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到p點(diǎn)的時(shí)間t為$\frac{3πL}{2{v}_{0}}$；
（3）若粒子從P點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)后從aO邊上某點(diǎn)再次進(jìn)入磁場(chǎng)，直接到達(dá)a點(diǎn)，$\frac{E}{B}$為v₀．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在電場(chǎng)與磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程復(fù)雜，是一道難題，分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程、作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡是正確解題的關(guān)鍵，應(yīng)用牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、運(yùn)動(dòng)的合成與分解即可解題．