Question

7．A、B兩球形行星體積的比值$\frac{V_A}{V_B}=a$，質(zhì)量的比值$\frac{M_A}{M_B}=b$，則繞A、B兩行星做勻速圓周運動衛(wèi)星的最小周期之比$\frac{T_A}{T_B}$等于（　�。�

• A． $\sqrt{\frac{a}}$
• B． $\sqrt{\frac{a}}$
• C． $\sqrt{ab}$
• D． $\sqrt{\frac{1}{ab}}$

Answer 1

分析 衛(wèi)星繞行星做勻速圓周運動時，由萬有引力提供向心力，求出周期的表達式，再判斷什么時候周期最小即可求解．

解答 解：衛(wèi)星繞行星做勻速圓周運動時，由萬有引力提供向心力，則有：
$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$
解得：T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$，則半徑越小，周期越小，
所以當AB兩個行星的衛(wèi)星都繞行星表面做勻速圓周運動時，周期最小，
最小周期之比$\frac{T_A}{T_B}$=$\frac{\sqrt{\frac{4{π}^{2}{{R}_{A}}^{3}}{G{M}_{A}}}}{\sqrt{\frac{4{π}^{2}{{R}_{B}}^{3}}{G{M}_{B}}}}$
而$\frac{{V}_{A}}{{V}_{B}}=\frac{\frac{4}{3}π{{R}_{A}}^{3}}{\frac{4}{3}π{{R}_{B}}^{3}}=a$，$\frac{M_A}{M_B}=b$，解得：$\frac{T_A}{T_B}$=$\sqrt{\frac{a}}$，故A正確．
故選：A

點評 本題主要考查了萬有引力提供向心力周期公式的直接應用，要求同學們知道在行星表面做勻速圓周運動時，周期最小，難度適中．