Question

3．有一只飛船繞地球運(yùn)行，其軌道為橢圓，近地點(diǎn)約300km，遠(yuǎn)地點(diǎn)約1700km，在遠(yuǎn)地點(diǎn)經(jīng)過(guò)變軌變成1700km的圓形軌道．經(jīng)過(guò)11天飛行，飛船調(diào)整姿態(tài)后開(kāi)始返回，返回艙距地面100km時(shí)，以8000m/s的速度進(jìn)入大氣層，當(dāng)時(shí)返回艙與大氣層產(chǎn)生劇烈摩擦，外表形成一團(tuán)火球，即進(jìn)入黑障區(qū)域．返回艙距地面40km時(shí)，黑障消失，此時(shí)返回艙的速度已降至200m/s．現(xiàn)提供以下常數(shù)：g=10m/s²，地球半徑R=6400km，G=6.67×10^-11Nm²kg^-2，地球質(zhì)量M=6.0×10²⁴kg．請(qǐng)求解下列問(wèn)題：
（1）飛船在1700km圓軌道飛行時(shí)的速度v₁及周期T₁；
（2）飛船在橢圓軌道上飛行的周期T₂；
（3）假設(shè)飛船加入黑障區(qū)域時(shí)沿直線運(yùn)動(dòng)，其加速度平均值為4g，試求飛船在黑障區(qū)域經(jīng)過(guò)的路程及時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力求出飛船和第一宇宙速度的大小關(guān)系，根據(jù)重力提供向心力求出第一宇宙速度的大小，從而求出飛船的速度大小，根據(jù)周期公式求出飛船的周期．
（2）根據(jù)開(kāi)普勒第三定律求出飛船在橢圓軌道上的周期．
（3）根據(jù)速度位移公式求出經(jīng)過(guò)的路程，根據(jù)速度時(shí)間公式求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

解答 解：（1）設(shè)飛船在近地軌道的速度為v₀，
則根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力有：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$，①
$G\frac{M{m}_{1}}{（R+h）^{2}}={m}_{1}\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R+h}$，②
$\frac{②}{①}$得，$\frac{{v}_{1}}{{v}_{0}}=\sqrt{\frac{R}{R+h}}$ 
因?yàn)?{m}_{0}g={m}_{0}\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$，
則${v}_{0}=\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×6400×1{0}^{3}}m/s=8km/s$．
解得${v}_{1}=\sqrt{\frac{6400}{8100}}×8=\frac{8}{9}×8km/s=\frac{64}{9}km/s$≈7.1km/s．
飛船的周期${T}_{1}=\frac{2π（R+h）}{{v}_{1}}$=$\frac{2×3.14×8100×1{0}^{3}}{7.1×1{0}^{3}}=7153s$．
（2）由開(kāi)普勒第三定律得，$\frac{{{R}_{1}}^{3}}{{{T}_{1}}^{2}}=\frac{{{R}_{2}}^{3}}{{{T}_{2}}^{2}}$，
橢圓的軌道半徑${R}_{2}=\frac{300+1700+6400×2}{2}km=7400km$，
解得${T}_{2}=\sqrt{\frac{{{R}_{2}}^{3}}{{{R}_{1}}^{3}}×{{T}_{1}}^{2}}$，代入數(shù)據(jù)解得T₂=6245s．
（3）根據(jù)速度位移公式得，$-2aL={{v}_{2}}^{2}-{{v}_{1}}^{2}$，
解得L=$\frac{800{0}^{2}-20{0}^{2}}{2×40}=8×1{0}^{5}m$，
運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=$\frac{{v}_{1}-{v}_{2}}{4g}=\frac{8000-200}{40}=195s$．
答：（1）飛船在1700km圓軌道飛行時(shí)的速度為7.1km/s，周期為7153s．
（2）飛船在橢圓軌道上飛行的周期為6245s．
（3）飛船在黑障區(qū)域經(jīng)過(guò)的路程為8×10⁵m，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為195s．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了萬(wàn)有引力定律理論與開(kāi)普勒定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式的綜合運(yùn)用，掌握萬(wàn)有引力定律的兩個(gè)重要理論：1、萬(wàn)有引力等于重力，2、萬(wàn)有引力提供向心力，并能靈活運(yùn)用．