Question

13．如圖是建筑工地常用的一種“深穴打夯機”，電動機帶動兩個滾輪勻速轉(zhuǎn)動將夯桿從深坑提上來，當夯桿底端剛到達坑口時，兩個滾輪彼此分開，將夯桿釋放，夯桿只在重力作用下運動，落回深坑，夯實坑底，且不反彈．然后兩個滾輪再次壓緊，夯桿被提到坑口，如此周而復(fù)始．已知兩個滾輪邊緣的線速度恒為v=4m/s，滾輪對夯桿的正壓力F_N=2×10⁴N，滾輪與夯桿間的動摩擦因數(shù)μ=0.3，夯桿質(zhì)量m=1×10³kg，坑深h=6.4m，假定在打夯的過程中坑的深度變化不大可以忽略，取g=10m/s²．求：
（1）夯桿被滾輪壓緊，加速上升至與滾輪速度相同時的高度；
（2）每個打夯周期中，滾輪將夯桿提起的過程中，電動機對夯桿所做的功；
（3）每個打夯周期中滾輪與夯桿間因摩擦產(chǎn)生的熱量；
（4）打夯周期．

Answer 1

分析 夯桿在每個周期內(nèi)先做勻加速上升，再做勻減速上升到零后再自由下落到坑底．夯桿底端剛到達坑口的運動過程中做勻加速直線運動，由運動學(xué)公式求解加速度．分別求出三個運動過程的時間，得到打夯的周期．電動機輸出的最大功率等于牽引力與最大速度的乘積．根據(jù)牛頓第二定律求出牽引力，再求解最大功率．根據(jù)功能關(guān)系求解每個周期電動機對桿所做的功

解答 解：（1）對夯桿：
由牛頓第二定律可得a=$\frac{{2μ{F_N}-mg}}{m}$=2m/s²
上升高度：h₁=$\frac{v^2}{2a}$=$\frac{{4}^{2}}{2×2}m$=4m
（2）夯桿加速上升階段：W₁=2μF_N•h₁=2×0.3×2×10⁴×4J=4.8×10⁴J
勻速上升階段：W₂=mgh₂=2.4×10⁴J
每個周期中 W=W₁+W₂=7.2×10⁴J
（3）夯桿加速上升時間：${t}_{1}=\frac{v}{a}=\frac{4}{2}s=2s$滾輪邊緣轉(zhuǎn)過的距離s=vt₁=4×2m=8m2×0.3×2×10⁴×4J
相對夯桿位移     d=8m-4m=4m     $Q=2μ{F}_{N}•d=2×0.3×2×1{0}^{4}×4J=4.8×1{0}^{4}J$
（4）夯桿勻速上升時間t₂=$\frac{h_2}{v}$=$\frac{2.4}{4}s$=0.6s    
夯桿從坑口做豎直上拋$-h=v{t_3}-\frac{1}{2}g{t_3}^2$
解得t₃=1.6s        
T=t₁+t₂+t₃=4.2s
答：（1）夯桿被滾輪壓緊，加速上升至與滾輪速度相同時的高度為4m；
（2）每個打夯周期中，滾輪將夯桿提起的過程中，電動機對夯桿所做的功為7.2×10⁴J
（3）每個打夯周期中滾輪與夯桿間因摩擦產(chǎn)生的熱量為4.8×10⁴J；
（4）打夯周期為4.2s．

點評 解決本題的關(guān)鍵理清夯桿的運動過程，知道夯桿在每個周期內(nèi)先做勻加速上升，再做勻減速上升到零后再自由下落到坑底