Question

18．隨著我國(guó)“嫦娥工程”啟動(dòng)，我國(guó)航天的下一目標(biāo)是登上月球，古人幻想的“嫦娥奔月”將變成現(xiàn)實(shí)．假若宇航員登陸月球后，用彈簧秤稱(chēng)得質(zhì)量為m的砝碼重量為F，乘宇宙飛船在靠近月球表面的圓形軌道空間環(huán)繞月球飛行，測(cè)得其環(huán)繞周期為T(mén)，引力常量為G．根據(jù)上述數(shù)據(jù)，求月球的半徑及及月球的質(zhì)量M．

Answer 1

分析 先m物體在星球表面的重量等于萬(wàn)有引力列式，再根據(jù)萬(wàn)有引力定律和向心力公式，兩式聯(lián)立即可解題；

解答 解：著陸后用彈簧秤稱(chēng)出質(zhì)量為m的物體的重力F，則$F=m{g}_{月}^{\;}$①
且$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m{g}_{月}^{\;}②$
因?yàn)榻�月飛行，故繞月運(yùn)行的軌道半徑r=R③
萬(wàn)有引力提供向心力知：
$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$④
綜合①②③④得：$R=\frac{F{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}m}$
代入②得：$M=\frac{{F}_{\;}^{3}{T}_{\;}^{4}}{16{π}_{\;}^{4}G{m}_{\;}^{3}}$
答：月球的半徑為$\frac{F{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}m}$，月球質(zhì)量$M=\frac{{F}_{\;}^{3}{T}_{\;}^{4}}{16{π}_{\;}^{4}G{m}_{\;}^{3}}$

點(diǎn)評(píng) 該題考查了萬(wàn)有引力公式及向心力基本公式的直接應(yīng)用，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．