Question

13．某星球的半徑為R，在該星球表面某一傾角為θ的山坡上以初速度v₀平拋一物體，經(jīng)過時間t該物體落到山坡上．
（1）求該星球的環(huán)繞速度；
（2）若在距離該星球表面高h(yuǎn)處有一顆衛(wèi)星繞著星球做勻速圓周運(yùn)動，問：衛(wèi)星運(yùn)行的周期是多少？（不計一切阻力）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平拋運(yùn)動規(guī)律列出水平方向和豎直方向的位移等式，結(jié)合幾何關(guān)系求出重力加速度．忽略地球自轉(zhuǎn)的影響，根據(jù)萬有引力等于重力列出等式．
使物體繞著星球表面做勻速圓周運(yùn)動，由萬有引力定律充當(dāng)向心力可求得環(huán)繞速度．
（2）由萬有引力提供向心力即可求出在距離該星球表面高h(yuǎn)處的周期．

解答 解：（1）由題意可知，是要求該星球上的“近地衛(wèi)星”的繞行速度，也即為第一宇宙速度．設(shè)該星球表面處的重力加速度為g，由平拋運(yùn)動規(guī)律可得：
tanθ=$\frac{y}{x}$，y=$\frac{1}{2}$gt²，x=v₀t，
聯(lián)立解得：g=$\frac{{2v_0^{\;}}}{t}$tanθ
對于繞該星球做勻速圓周運(yùn)動的“近地衛(wèi)星”，應(yīng)有：mg=m  $\frac{v^2}{R}$
解得：v=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{\frac{{2{v_0}Rtanθ}}{t}}$
（2）由萬有引力提供向心力：$\frac{GMm}{{{{（R+h）}^2}}}=m\frac{{4{π^2}（R+h）}}{T^2}$
推得：$T=\sqrt{\frac{{4{π^2}{{（R+h）}^3}}}{GM}}$
又  $\frac{GMm}{R^2}=mg$
有GM=gR²
所以有：$T=\sqrt{\frac{{4{π^2}{{（R+h）}^3}}}{{g{R^2}}}}=\frac{2π（R+h）}{R}\sqrt{\frac{t（R+h）}{{2{v_0}tanθ}}}$
答：（1）該星球的環(huán)繞速度是$\sqrt{\frac{{2{v_0}Rtanθ}}{t}}$；
（2）若在距離該星球表面高h(yuǎn)處有一顆衛(wèi)星繞著星球做勻速圓周運(yùn)動，衛(wèi)星運(yùn)行的周期是$\frac{2π（R+h）}{R}\sqrt{\frac{t（R+h）}{2{v}_{0}tanθ}}$．

點評 處理平拋運(yùn)動的思路就是分解．重力加速度g是天體運(yùn)動研究和天體表面宏觀物體運(yùn)動研究聯(lián)系的物理量．