Question

9．組成星球的物質(zhì)是靠引力吸引在一起的，這樣的星球有一個(gè)最大的自轉(zhuǎn)速率，如果超出了該速率，星球的萬有引力將不足以維持其赤道附近的物體隨星球做圓周運(yùn)動．假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的星球，地球半徑為R、地球北極表面附近的重力加速度為g、引力常量為G、地球質(zhì)量為M，則地球的最大自轉(zhuǎn)角速度ω為（　　）

• A． ω=2π$\sqrt{\frac{GM}{{R}^{3}}}$
• B． ω=$\sqrt{\frac{GM}{{R}^{3}}}$
• C． ω=$\sqrt{\frac{g}{R}}$
• D． ω=2π$\sqrt{\frac{R}{g}}$

Answer 1

分析 由題意可知當(dāng)周期達(dá)到某一最小值時(shí)，物體對星球表面應(yīng)剛好沒有壓力，即萬有引力恰好充當(dāng)星球表面的物體在星球表面做圓周運(yùn)動的向心力；故由萬有引力公式可求得最小周期，進(jìn)而求得最大自轉(zhuǎn)角速度．

解答 解：由F=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$R 可得周期越小，物體需要的向心力越大，物體對星球表面的壓力最小，
當(dāng)周期小到一定值時(shí)，壓力為零，此時(shí)萬有引力充當(dāng)向心力，即：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m（$\frac{2π}{T}$）²R
解得：T=2π$\sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$，
根據(jù)ω=$\frac{2π}{T}$=$\sqrt{\frac{GM}{{R}^{3}}}$
因GM=gR²，代入上式可得：ω=$\sqrt{\frac{g}{R}}$，故BC正確，AD錯誤；
故選：BC．

點(diǎn)評 星球表面的物體受到星球萬有引力的作用充當(dāng)物體的向心力及支持力，星球的轉(zhuǎn)動角速度越大、周期越小時(shí)，則需要的向心力越大，則物體所受支持力越�。欢�當(dāng)向心力大到一定值時(shí)，物體會離開星球表面．