如圖所示,光滑水平面AB與豎直面內(nèi)的半圓形導軌在B點相接,導軌半徑為R.一個質(zhì)量為m的物體將彈簧壓縮至A點后由靜止釋放,在彈力作用下物體獲得某一向右速度后脫離彈簧,當它經(jīng)過B點進入導軌瞬間對導軌的壓力為其重力的7倍,之后向上運動恰能完成半個圓周運動到達C點.不計空氣阻力.
試求:
(1)當m在A點時,彈簧的彈性勢能的大�。�
(2)物塊m從B點運動到C點克服阻力做的功的大�。�
(3)如果半圓形軌道也是光滑的,其他條件不變,當物體由A經(jīng)B運動到C,然后落到水平面,落點為D(題中D點未標出,且水平面足夠長),求D點與B點間距離.
分析:(1)研究物體經(jīng)過B點的狀態(tài),根據(jù)牛頓運動定律求出物體經(jīng)過B點的速度,得到物體的動能,物體從A點至B點的過程中機械能守恒定律,彈簧的彈性勢能等于體經(jīng)過B點的動能;
(2)物體恰好到達C點時,由重力充當向心力,由牛頓第二定律求出C點的速度,物體從B到C的過程,運用動能定理求解克服阻力做的功;
(3)物體離開軌道后做平拋運動,運用運動的合成和分解法求出物體離開C點后落回水平面時的水平位移的大小.
解答:解:(1)物塊在B點時,由牛頓第二定律得:FN-mg=m
v
2
B
R

  FN=7mg
在物體從A點到B點的過程中,根據(jù)機械能守恒定律,彈簧的彈性勢能:Ep=
1
2
m
v
2
B

聯(lián)立以上三式得:Ep=3mgR
(2)物體到達C點僅受重力mg,根據(jù)牛頓第二定律有mg=m
v
2
c
R

物體從B點到C點只有重力和阻力做功,根據(jù)動能定理有:W-mg×2R=
1
2
mvC2-
1
2
m
v
2
B
,
解得W=-0.5mgR
物塊m從B點運動到C點克服阻力做的功的大小為0.5mgR
(3)在物體從B點到C點的過程中,根據(jù)動能定理有:-mg×2R=
1
2
m
v
2
C
-
1
2
m
v
2
B

解得    vC=
2gR

由C點到D點,物體做平拋運動,有:
水平方向:XBD=vCt
豎直方向:2R=
1
2
gt2

解得:XBD=2
2
R

答:(1)彈簧的彈性勢能的大小為3mgR;
(2)物塊m從B點運動到C點克服阻力做的功的大小為0.5mgR;
(3)D點與B點間距離XBD=2
2
R
點評:本題的解題關鍵是根據(jù)牛頓第二定律求出物體經(jīng)過B、C兩點的速度,再結(jié)合動能定理、平拋運動的知識求解.
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(1)彈簧開始時的彈性勢能;
(2)物體從B點運動至C點克服阻力做的功;
(3)物體離開C點后落回水平面時的速度大小和方向.

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