Question

9．如圖所示，AB、CD是兩根足夠長的固定平行金屬導(dǎo)軌，兩導(dǎo)軌間的距離為L，導(dǎo)軌平面與水平面的夾角為θ，在整個導(dǎo)軌平面內(nèi)都有垂直于導(dǎo)軌平面斜向上方的勻強磁場，磁感應(yīng)強度為B，在導(dǎo)軌的　AC端連接一個阻值為　R的電阻，一根質(zhì)量為m、垂直于導(dǎo)軌放置的金屬棒ab，從靜止開始沿導(dǎo)軌下滑，已知ab與導(dǎo)軌間的動摩擦因數(shù)為μ，導(dǎo)軌和金屬棒的電阻都不計．（g=10m/s²）
（1）從靜止開始沿導(dǎo)軌下滑，求此過程中ab棒的最大速度
（2）若金屬棒ab，從靜止開始沿導(dǎo)軌下滑到最大速度時，通過位移為x₀，求出在此過程中通過電阻R的電荷量為多少？
（3）若金屬棒ab，從靜止開始沿導(dǎo)軌下滑到最大速度時，通過位移為x₀，求出在此過程中磁場對金屬棒ab所做的功．

Answer 1

分析 （1）金屬棒下滑時切割磁感線運動，產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，產(chǎn)生感應(yīng)電流，受到沿斜面向上的安培力，做加速度逐漸減小的加速運動，當(dāng)加速度為0時，速度最大．由平衡條件和安培力與速度的關(guān)系式結(jié)合解答．
（2）求出磁通量的變化量△Φ，即可由q=$\frac{△Φ}{R}$求出通過電阻R的電量．
（3）下滑過程中，金屬棒的重力勢能減小，動能增加，內(nèi)能增加，根據(jù)能量守恒求出整個電路產(chǎn)生的熱量，從而求出電阻R上產(chǎn)生的熱量．即得到磁場對金屬棒ab所做的功．

解答 解：（1）金屬棒向下做加速度減小的加速運動，當(dāng)加速度a=0時，速度達(dá)到最大．有：
mgsinθ-μmgcosθ=F_A
又安培力為：F_A=BIL
感應(yīng)電流為：I=$\frac{BL{v}_{m}^{2}}{R}$
聯(lián)立以上三式得：v_m=$\frac{（mgsinθ-μmgcodsθ）R}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
（2）通過位移為x₀的過程中磁通量的增加量為：△Φ=BLx₀．
通過電阻R的電量為：
q=$\overline{I}△t$=$\frac{\overline{E}}{R}$△t=$\frac{△Φ}{R}$=$\frac{BL{x}_{0}}{R}$
（3）根據(jù)能量守恒得：
mgx₀sinθ=$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$+Q+μmgcosθx₀；
所以整個回路產(chǎn)生的焦耳熱為：
Q=mgx₀sinθ-μmgcosθx₀-$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$=mgx₀sinθ-μmgcosθx₀-$\frac{{{m}^{3}g}^{2}（sinθ-μcosθ）^{2}{R}^{2}}{2{B}^{4}{L}^{4}}$
由功能關(guān)系可得：在此過程中磁場對金屬棒ab所做的功為：
W=-Q=$\frac{{{m}^{3}g}^{2}（sinθ-μcosθ）^{2}{R}^{2}}{2{B}^{4}{L}^{4}}$-mgx₀sinθ+μmgcosθx₀．
答：（1）從靜止開始沿導(dǎo)軌下滑，此過程中ab棒的最大速度為$\frac{（mgsinθ-μmgcodsθ）R}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
（2）通過電阻R的電量為$\frac{BL{x}_{0}}{R}$．
（3）在此過程中磁場對金屬棒ab所做的功為$\frac{{{m}^{3}g}^{2}（sinθ-μcosθ）^{2}{R}^{2}}{2{B}^{4}{L}^{4}}$-mgx₀sinθ+μmgcosθx₀．

點評 解決本題的關(guān)鍵掌握運用動力學(xué)分析金屬棒的運動，知道當(dāng)加速度為零時，速度最大．以及會靈活運用能量守恒定律和掌握電量的公式．