Question

10．如圖軌道ABCD平滑連接，其中AB為光滑的曲面，BC為粗糙水平面且摩擦因數(shù)為μ，CD為半徑為r內壁光滑四分之一圓管，管口D正下方直立一根勁度系數(shù)為k的輕彈簧（下端固定，上端恰好與D端齊平）．質量為m的小球在曲面上距BC高為3r的地方由靜止下滑，進入管口C端時與圓管恰好無壓力作用，通過CD后壓縮彈簧，壓縮過程中速度最大時彈簧彈性勢能為E_p．
求：（1）水平面BC的長度s；
（2）小球向下壓縮彈簧過程中的最大動能E_Km．

Answer 1

分析 （1）小球進入管口C端時與圓管恰好無壓力作用，由重力提供向心力，由牛頓第二定律可求出小球到達C點的速度．小球從A運動到C點的過程中，由動能定理可求出水平面BC的長度S；
（2）小球壓縮彈簧時，當小球的重力和彈力平衡時速度最大，由此列式，求出此時彈簧的壓縮量．設最大速度的位置為零勢能面，根據(jù)小球和彈簧構成的系統(tǒng)機械能守恒求最大動能E_Km．

解答 解：（1）由題知，小球在C點對軌道沒有壓力，對小球，由牛頓第二定律得：

 mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{r}$
小球從A運動到C點的過程中，由動能定理：
  mg•3r-μmgs=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
解得 s=$\frac{5r}{2μ}$
（2）小球壓縮彈簧時，最大速度時，小球加速度為0，設彈簧壓縮量為x．則
  kx=mg
得：x=$\frac{mg}{k}$
由C點到最大速度時，小球和彈簧構成的系統(tǒng)機械能守恒：
設最大速度的位置為零勢能面，有：
  $\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$+mg（r+x）=E_Km+E_p；
解得 E_Km=$\frac{3}{2}$mgr+$\frac{{m}^{2}{g}^{2}}{k}$-E_p．
答：
（1）水平面BC的長度s為$\frac{5r}{2μ}$；
（2）小球向下壓縮彈簧過程中的最大動能E_Km為$\frac{3}{2}$mgr+$\frac{{m}^{2}{g}^{2}}{k}$-E_p．

點評 本題分析清楚物塊的運動過程，把握兩個臨界狀態(tài)是關鍵：一是小球通過C點的狀態(tài)，由重力充當向心力．二是小球速度最大時，重力與彈力平衡．