Question

8．質量為M、半徑為R的質量分布均勻的球體，在正中央挖去半徑為$\frac{R}{4}$的小球后，剩余的部分為陰影區(qū)域，如圖所示．質量為m的質點P到球心O的距離為2R，引力常量為G．試求質點P受到的萬有引力．（已知半徑為R的球的體積公式為V=$\frac{4}{3}$πR³）

Answer 1

分析 用沒挖之前球對質點的引力，減去被挖部分對質點的引力，就是剩余部分對質點的引力．

解答 解：將挖去的球補上，則完整的大球對球外質點P的引力為
F₁=$\frac{GMm}{{（2R）}^{2}}$ …①
設半徑為$\frac{R}{4}$的小球的質量為M′，則M′=ρV′…②
V′=$\frac{4π}{3}$${（\frac{R}{4}）}^{3}$…③
半徑為R的球質量為M=ρV…④
V=$\frac{4{πR}^{3}}{3}$
設補上的小球對質點P的引力為F₂，則
F₂=$\frac{GM′m}{{（2R）}^{2}}$ …⑤
設挖去小球后的陰影部分對質點P的引力為F，則
F=F₁-F₂…⑥
聯(lián)立①②③④⑤⑥式，解得：F=$\frac{63GMm}{25{6R}^{2}}$
答：質點P受到的萬有引力是$\frac{63GMm}{25{6R}^{2}}$．

點評 本題的關鍵就是要對挖之前的引力和挖去部分的引力計算，而不是直接去計算剩余部分的引力，因為那是一個不規(guī)則球體，其引力直接由公式得到．