Question

14．如圖所示，坐標系xOy中第一象限空間有沿y軸負方向的，場強為E′=$\frac{4}{3}$E的勻強電場，并在x$＞\frac{4h}{3}$，y＞h區(qū)域有磁感應(yīng)強度為B的垂直于紙面向外的勻強磁場，第三象限空間也有沿水平方向的，垂直于紙面向外的勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小也為B，還有沿x軸負方向的勻強電場，場強大小為E，一個帶電荷為q的油滴從圖中第三象限的P點得到一初速度，恰好能沿PO作直線運動（PO與x軸負方向的夾角為θ=37°）并從原點O進入第一象限，已知重力加速度為g，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²，求：
（1）油滴在P點得到的初速度大小
（2）油滴在第一象限運動的時間
（3）油滴離開第一象限的坐標．

Answer 1

分析 （1）油滴在復(fù)合場中做直線運動，垂直速度方向的合力一定為零，受力分析即可判斷；油滴受三個力作用（見右圖），從P到O沿直線必為勻速運動，設(shè)油滴質(zhì)量為m，由平衡條件即可求解；
（2）粒子進入第一象限時，重力和電場力平衡，故粒子現(xiàn)做勻速直線運動，再做勻速圓周運動，最后做勻速直線運動，求出粒子在各階段的運動時間，然后求出總時間；
（3）由牛頓第二定律的求出粒子的軌道半徑，然后根據(jù)幾何關(guān)系求出粒子離開第一象限的位置．

解答 解：（1）油滴在復(fù)合場中做直線運動，垂直速度方向的合力一定為零，受力分析如圖所示：如果油滴帶負電，受力分析如圖1所示，帶正電，受力分析如圖2所示．因為要保證垂直速度方向合力為零，圖2中油滴一定做減速運動，這時洛侖茲力在變化，導(dǎo)致垂直速度方向的力發(fā)生變化，油滴不可能做直線運動，即油滴不僅垂直速度方向合力為零，沿速度方向合力也為零，則只能是1圖，所以油滴一定帶負電．
油滴受三個力作用（見1圖），從P到O沿直線必為勻速運動，設(shè)油滴質(zhì)量為m：
由平衡條件有qvBsin37°=qE，mgtan37°=qE，
解得：v=$\frac{5E}{3B}$…①m=$\frac{4qE}{3g}$…②
（2）進入第一象限，由電場力：F′=qE′=$\frac{4}{3}$qE和重力G=mg=$\frac{4qE}{3g}$，
知油滴先作勻速直線運動，進入y≥h的區(qū)域后作勻速圓周運動，路徑如圖，最后從x軸上的N點離開第一象限．
由O→A勻速運動位移為s₁=$\frac{h}{sin37°}$=$\frac{5}{3}$h知
運動時間：t₁=$\frac{{s}_{1}}{v}$=$\frac{\frac{5}{3}h}{\frac{5E}{3B}}$=$\frac{hB}{E}$，
由幾何關(guān)系和圓周運動的周期關(guān)系式T=$\frac{2πm}{qB}$知
由A→C的圓周運動時間為：t₂=$\frac{74°}{360°}$T，解得：t₂=$\frac{74πE}{135gB}$，
由對稱性知從C→N的時間t₃=t₁，
在第一象限運動的總時間：t=t₁+t₂+t₃=$\frac{2hB}{E}$+$\frac{74πE}{135gB}$；
（3）由在磁場中的勻速圓周運動，有　qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$  ③
由①、②、③式解得得到軌道半徑：R=$\frac{mv}{qB}$=$\frac{20{E}^{2}}{9g{B}^{2}}$，
圖中的ON=2（s₁cot37°+rsin37°）=$\frac{8}{3}$（h+$\frac{{E}^{2}}{g{B}^{2}}$），
即離開第一象限處（N點）的坐標為[（$\frac{8}{3}$（h+$\frac{{E}^{2}}{g{B}^{2}}$），0]；
答：（1）油滴在P點得到的初速度大小為$\frac{5E}{3B}$．
（2）油滴在第一象限運動的時間為$\frac{2hB}{E}$+$\frac{74πE}{135gB}$．
（3）油滴離開第一象限的坐標為[（$\frac{8}{3}$（h+$\frac{{E}^{2}}{g{B}^{2}}$），0]．

點評 本題關(guān)鍵是先確定物體的運動情況，并畫出運動軌跡，然后逐段逐段分析，勻速運動階段受力平衡，勻速圓周運動階段洛倫茲力提供向心力．