Question

9．如圖所示，在光滑水平面左右兩側(cè)各有一豎直彈性墻壁P、Q，平板小車A的左側(cè)固定一擋板D，小車和擋板的總質(zhì)量 M=2kg，小車上表面O點(diǎn)左側(cè)光滑，右側(cè)粗糙．一輕彈簧左端與擋板相連，原長(zhǎng)時(shí)右端在O點(diǎn)．質(zhì)量m=1kg的物塊B在O點(diǎn)貼著彈簧右端放置，但不與彈簧連接，B與O點(diǎn)右側(cè)平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5．現(xiàn)將小車貼著P固定，有水平B繼續(xù)向左運(yùn)動(dòng)，恒力F推B向左移動(dòng)x₀=0.1m距離時(shí)撤去推力，最終停在O點(diǎn)右側(cè)x₁=0.9m 處，取重力加速度g=10m/s²，彈簧在彈性限度內(nèi)．
（1）求水平恒力F的大小及彈簧的最大彈性勢(shì)能E_p；
（2）撤去小車A的固定限制，以同樣的力F推B向左移動(dòng)x₀時(shí)撤去推力，發(fā)現(xiàn)A與Q發(fā)生第一次碰撞前A、B已經(jīng)達(dá)到共同速度，求最初A右端與Q間的最小距離s₀；
（3）在（2）的情況下，求B在O點(diǎn)右側(cè)運(yùn)動(dòng)的總路程s及運(yùn)動(dòng)過(guò)程中B離開(kāi)O點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離x（車與墻壁碰撞后立即以原速率彈回）．

Answer 1

分析 （1）小車貼著P固定，對(duì)全過(guò)程研究，根據(jù)動(dòng)能定理列式，可求出F．再由功能關(guān)系求彈簧的最大彈性勢(shì)能E_p；
（2）撤去小車A的固定限制，B離開(kāi)彈簧后，B做減速運(yùn)動(dòng)，A做加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律求出兩者的加速度，根據(jù)速度相等的條件列式，求出時(shí)間，再由位移公式求解最小距離s₀．
（3）最終A、B都停止運(yùn)動(dòng)，機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，由功能關(guān)系求B在O點(diǎn)右側(cè)運(yùn)動(dòng)的總路程s．根據(jù)速度關(guān)系，由速度公式求出時(shí)間，再求解運(yùn)動(dòng)過(guò)程中B離開(kāi)O點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離x．

解答 解：（1）取全過(guò)程研究，根據(jù)動(dòng)能定理有
  Fx₀-μmgx₁=0
解得  F=45N
由功能關(guān)系得  Fx₀=E_p
解得 E_p=45J
（2）設(shè)B運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)的速度為v₀，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有
  E_p=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
接著B(niǎo)減速，設(shè)加速度大小為a₁，根據(jù)牛頓第二定律有
  μmg=ma₁；
解得 a₁=5m/s²；
A加速，設(shè)加速度大小為a₂，根據(jù)牛頓第二定律有
  μmg=Ma₂；
解得 a₂=2.5m/s²；
設(shè)運(yùn)動(dòng)的共同速度為v₁，則 v₁=v₀-a₁t₁，v₂=a₂t₁，
t₁時(shí)間內(nèi)A運(yùn)動(dòng)的距離即為最小距離 s₀=$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{1}^{2}$
解得 s₀=0.2m
（3）最終A、B都停止運(yùn)動(dòng)，機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，由功能關(guān)系得
  E_p=μmgs
解得 s=0.9m
A與Q第一次碰撞前B距離O點(diǎn)的距離△s₁=${v}_{0}{t}_{1}-\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{1}^{2}-\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{1}^{2}$
   A被Q反彈后瞬間向左速度大小為v₁，B以大小為v₁的速度向右減速，且B的加速度大小仍是 a₁=5m/s²，方向向左；A的加速度仍為a₂=2.5m/s²，方向向右，達(dá)到共同速度v₂前B相對(duì)A一直向右運(yùn)動(dòng)，則
  v₁₂=v₁-a₁t₂，v₂=-v₁+a₂t₂，
解得 t₂=$\frac{4}{15}$s，v₂=-$\frac{1}{3}$m/s
這段時(shí)間內(nèi)B相對(duì)A向右移動(dòng)距離△s₂=（v₁t₂-$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{2}^{2}$）-（-v₁t₂+$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{2}^{2}$）
此時(shí)B離開(kāi)O點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離 x=△s₁+△s₂；
解得 x=0.87m
答：
（1）水平恒力F的大小是45N，彈簧的最大彈性勢(shì)能E_p是45J．
（2）最初A右端與Q間的最小距離s₀是0.2m．
（3）B在O點(diǎn)右側(cè)運(yùn)動(dòng)的總路程s是0.9m，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中B離開(kāi)O點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離x是0.87m．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵理清物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合分析，分析時(shí)要抓住隱含的臨界條件，如速度關(guān)系．第2小題，也可以根據(jù)動(dòng)量守恒定律和動(dòng)能定理結(jié)合解答．