Question

14．如圖所示，半徑為R的光滑半圓形軌道CDE在豎直平面內(nèi)與光滑水平軌道AC相切于C點(diǎn)，水平軌道AC上有一輕質(zhì)彈簧，彈簧左端連接在固定的擋板上，彈簧自由端B與軌道最低點(diǎn)C的距離為4R．現(xiàn)用一個(gè)小球?qū)�彈簧壓縮（不栓接），當(dāng)彈簧的彈性勢(shì)能為E_p1時(shí)，將小球由靜止釋放，小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中恰好通過(guò)半圓形軌道的最高點(diǎn)E，之后再次從B點(diǎn)用該小球壓縮彈簧，當(dāng)彈簧的彈性勢(shì)能為E_p2時(shí)，將小球由靜止釋放，小球經(jīng)過(guò)BCDE軌道拋出后恰好落在B點(diǎn)，彈簧始終處在彈性限度內(nèi)，求彈性勢(shì)能E_p1與E_p2之比．

Answer 1

分析 第一次壓縮量為l時(shí)，小球恰好通過(guò)E點(diǎn)，在E點(diǎn)，由重力充當(dāng)向心力，可求得E點(diǎn)的速度，由機(jī)械能守恒定律表示出壓縮時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能．
第二次壓縮時(shí)，小球離開(kāi)E點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，由分運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出小球通過(guò)E點(diǎn)的速度，再由機(jī)械能守恒定律出壓縮時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能．再求彈性勢(shì)能E_p1與E_p2之比．

解答 解：釋放小球后彈簧的彈性勢(shì)能轉(zhuǎn)化為小球的動(dòng)能，設(shè)小球離開(kāi)彈簧時(shí)速度為v₁，由機(jī)械能守恒定律得：
  E_p1=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
設(shè)小球在最高點(diǎn)E時(shí)的速度為v₂，由臨界條件可知：
  mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$，v₂=$\sqrt{gR}$
由機(jī)械能守恒定律可得：$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$=mg•2R+$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
以上幾式聯(lián)立解得：E_p1=$\frac{5}{2}$mgR
第二次壓縮時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能為E_p2
小球通過(guò)最高點(diǎn)E時(shí)的速度為v₃，由機(jī)械能守恒定律可得：
  E_p2=mg•2R+$\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}$
小球從E點(diǎn)開(kāi)始做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得：
4R=v₃t
2R=$\frac{1}{2}$gt²
解得：v₃=2$\sqrt{gR}$
聯(lián)立解得：E_p2=4mgR
則  E_P1：E_P2=5：8．
答：彈性勢(shì)能E_p1與E_p2之比是5：8．

點(diǎn)評(píng) 本題是機(jī)械能守恒定律、向心力與平拋運(yùn)動(dòng)的綜合應(yīng)用．利用機(jī)械能守恒定律的優(yōu)點(diǎn)在于不用分析物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程的細(xì)節(jié)，只關(guān)心初末狀態(tài)即可，但要分析能量是如何轉(zhuǎn)化的．