Question

17．在豎直平面內(nèi)有一半徑為R的半圓形固定圓管軌道，管內(nèi)徑遠小于R，其最低點A和水平面相切，一質(zhì)量為m可視為質(zhì)點的小球從最低點以$\sqrt{6gR}$速度沖上軌道，到達最高點B時和軌道之間的作用力的大小為0.5mg．求：
（1）物塊到達最高點B時速度的大�。�
（2）物塊從最高點B飛出后在水平面上的落點到軌道最低點A的距離．
（3）半圓軌道內(nèi)阻力對小球做的功．

Answer 1

分析 因為題干只告訴最高點B時和軌道之間的作用力的大小為0.5mg，但并沒有告訴是內(nèi)軌道還是外軌道的作用力，所以每一問題都要分情況討論．
（1）由牛頓第二定律可求得小球在最高點的速度；
（2）由平拋運動規(guī)律可求得小球落地時的水平位移；
（3）由動能定理求得半圓軌道內(nèi)阻力對小球做的功．

解答 解：（1）當在最高點小球受到外軌道對它向下的彈力時，設(shè)速度為v₁，由牛頓第二定律可得：
0.5mg+mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$，
解得：v₁=$\sqrt{1.5gR}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{12gR}$；
當在最高點小球受到內(nèi)軌道對它向上的支持力時，設(shè)速度為v₂，由牛頓第二定律可得：
mg-0.5mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$，
解得：v₂=$\sqrt{0.5gR}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2gR}$；
（2）小球從B點飛出后做平拋運動，設(shè)物塊從最高點B飛出后在水平面上的落點到軌道最低點A的距離x，則：
豎直方向上：2R=$\frac{1}{2}$gt²
水平方向上：x=vt
聯(lián)立解得：x=2v$\sqrt{\frac{R}{g}}$，所以：
當v=$\sqrt{1.5gR}$時，x=$\sqrt{6}$R；
當v=$\sqrt{0.5gR}$時，x=$\sqrt{2}$R；
（3）從最低到最高有動能定理可得：-mg•2R+W_f=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$
當v=$\sqrt{1.5gR}$時，代入數(shù)據(jù)解得：W_f1=-$\frac{1}{4}$mgR；
當v=$\sqrt{0.5gR}$時，代入數(shù)據(jù)解得：W_f2=-$\frac{3}{4}$mgR．
答：（1）物塊到達最高點B時速度的大小為$\frac{1}{2}$$\sqrt{12gR}$或$\frac{1}{2}$$\sqrt{2gR}$；
（2）物塊從最高點B飛出后在水平面上的落點到軌道最低點A的距離為$\sqrt{6}$R或$\sqrt{2}$R；
（3）半圓軌道內(nèi)阻力對小球做的功為-$\frac{1}{4}$mgR或-$\frac{3}{4}$mgR．

點評 本題考查平拋、動能定理及向心力公式的應(yīng)用，要注意正確應(yīng)用向心力公式，并能利用牛頓第二定律列式求解．特別注意題目給定的條件“到達最高點B時和軌道之間的作用力的大小為0.5mg”，并未告訴是內(nèi)軌道還是外軌道的作用力，所以每一問題都要分情況討論．