Question

5．如圖甲是半徑為R的半圓柱形容器，在其直徑的兩端沿母線開有狹縫ad和bc，整個(gè)容器處于真空環(huán)境中．有大量的質(zhì)量為m、電量為q和質(zhì)量為m、電量為2q的帶正電粒子，它們都以較大的恒定速度v₀從狹縫ad源源不斷地沿平行直徑ab方向射入容器，圖乙、丙是容器的橫截面俯視圖．若粒子與容器內(nèi)壁的曲面相碰，粒子既沒有電量損失，也沒有動(dòng)能損失；如若與直徑所在的平面內(nèi)壁相碰，粒子便立即被容器吸收且電荷被導(dǎo)走．從某時(shí)刻起，容器中出現(xiàn)平行于ad向下、磁感應(yīng)強(qiáng)度從零開始緩慢增加的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，隨著磁場(chǎng)的出現(xiàn)和增強(qiáng)，出現(xiàn)了下述現(xiàn)象：一會(huì)兒沒有粒子從bc縫穿出，一會(huì)兒又有粒子從bc縫穿出，而且這兩種現(xiàn)象不斷地交替出現(xiàn)，由于磁感應(yīng)強(qiáng)度緩慢增加，可認(rèn)為各粒子在容器中運(yùn)動(dòng)的過程中磁場(chǎng)沒有發(fā)生變化，不計(jì)重力及粒子間的相互作用，試通過計(jì)算分析：
（1）出現(xiàn)磁場(chǎng)后，哪種粒子先從bc縫穿出？
（2）出現(xiàn)磁場(chǎng)后，第二次有粒子從bc縫穿出時(shí)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度多大？
（3）若出現(xiàn)磁場(chǎng)后某一時(shí)刻，原真空環(huán)境被破壞，磁場(chǎng)也不再變化，磁感應(yīng)強(qiáng)度恒定為B₀，粒子在容器中還將受到阻力F_f=kQ，式中k為常數(shù)，Q為粒子的電荷量，兩粒子運(yùn)動(dòng)軌跡大致如圖丙所示．試求兩種粒子在該環(huán)境下運(yùn)行的路程之比．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律求出粒子軌道半徑；出現(xiàn)磁場(chǎng)后，作出第一次從B縫穿出的離子在容器中運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，根據(jù)運(yùn)動(dòng)軌跡與粒子軌道半徑分析答題．
（2）出現(xiàn)磁場(chǎng)后，作出第二次運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，結(jié)合幾何關(guān)系和半徑公式求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小．
（3）對(duì)粒子應(yīng)用動(dòng)能定理求出粒子的路程，然后求出路程之比．

解答 解：（1）出現(xiàn)磁場(chǎng)后，第一次從bc縫穿出的離子在容器中運(yùn)動(dòng)情況如圖所示，

即粒子與容器內(nèi)壁碰撞一次就從b縫穿出，離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑恰為R，
粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：Qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，解得：r=$\frac{m{v}_{0}}{QB}$，
磁感應(yīng)強(qiáng)度B從零開始增大，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r逐漸減小，
當(dāng)粒子軌道半徑減小到R時(shí)，粒子從bc縫穿出，在m、v₀、B相等的情況下，
電荷量Q越大的粒子軌道半徑先減小到R，先從bc縫穿出，因此帶電量為2q的粒子先從bc縫穿出．
（2）出現(xiàn)磁場(chǎng)后，第二次從bc縫穿出的離子在容器中運(yùn)動(dòng)情況如圖所示：

即離子與容器內(nèi)壁碰撞兩次就從b縫穿出，設(shè)離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑為r，在△aO₂O中，
有：θ=$\frac{π}{6}$，r=Rtanθ=Rtan$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$R，
由牛頓第二定律得：2qv₀B′=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，
解得：B′=$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{2qR}$；
（3）洛倫茲力對(duì)粒子不做功，對(duì)粒子，
由動(dòng)能定理得：-kQs=0-$\frac{1}{2}$mv₀²，解得：s=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2kQ}$，
粒子的路程之比：$\frac{{s}_{q}}{{s}_{2q}}$=$\frac{2q}{q}$=$\frac{2}{1}$；
答：（1）出現(xiàn)磁場(chǎng)后，帶電量為2q的粒子先從bc縫穿出；
（2）出現(xiàn)磁場(chǎng)后，第二次有粒子從bc縫穿出時(shí)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{2qR}$；
（3）兩種粒子在該環(huán)境下運(yùn)行的路程之比為2：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵作出軌跡圖，通過半徑公式、動(dòng)能定理，結(jié)合幾何關(guān)系進(jìn)行求解，有一定的難度．