Question

3．一水平的淺色長(zhǎng)傳送帶上放置一煤塊（可視為質(zhì)點(diǎn)），煤塊與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ．初始時(shí)，傳送帶與煤塊都是靜止的．現(xiàn)讓傳送帶以恒定的加速度a₀開始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其速度達(dá)到v₀后，便以此速度做勻速運(yùn)動(dòng)．經(jīng)過一段時(shí)間，煤塊在傳送帶上留下了一段黑色痕跡后，煤塊相對(duì)于傳送帶不再滑動(dòng)．求此黑色痕跡的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 剛開始時(shí)傳送帶的速度大于煤塊的速度，煤塊相對(duì)于傳送帶向后運(yùn)動(dòng)，所以在傳送帶上留下痕跡，當(dāng)煤塊的速度達(dá)到v時(shí)，煤塊和傳送帶相對(duì)靜止，此時(shí)沒有摩擦力，求出傳送帶的位移和煤塊的位移，兩者位移之差為黑色痕跡的長(zhǎng)度．根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合解答．

解答 解：根據(jù)“傳送帶上有黑色痕跡”可知，煤塊與傳送帶之間發(fā)生了相對(duì)滑動(dòng)，煤塊的加速度a小于傳送帶的加速度a₀．根據(jù)牛頓第二定律，可得
煤塊的加速度大小為  a=$\frac{μmg}{m}$=μg ①
設(shè)經(jīng)歷時(shí)間t，傳送帶由靜止開始加速到速度等于v₀，煤塊則由靜止加速到v，有
v₀=a₀t ②
 v=at ③
由于a＜a₀，故v＜v₀，煤塊繼續(xù)受到滑動(dòng)摩擦力的作用．再經(jīng)過時(shí)間t′，煤塊的速度由v增加到v₀，有
v₀=v+at′④
此后，煤塊與傳送帶運(yùn)動(dòng)速度相同，相對(duì)于傳送帶不再滑動(dòng)，不再產(chǎn)生新的痕跡．
設(shè)在煤塊的速度從0增加到v₀的整個(gè)過程中，傳送帶和煤塊移動(dòng)的距離分別為s₀和s，有  ${s_0}=\frac{1}{2}{a_0}{t^2}+{v_0}t'$ ⑤
   s=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2a}$  ⑥
傳送帶上留下的黑色痕跡的長(zhǎng)度  l=s₀-s  ⑦
由以上各式得  l=$\frac{{v}_{0}^{2}（{a}_{0}-μg）}{2μ{a}_{0}g}$  ⑧
答：此黑色痕跡的長(zhǎng)度是$\frac{{v}_{0}^{2}（{a}_{0}-μg）}{2μ{a}_{0}g}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道要發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，傳送帶的加速度需大于煤塊的加速度．黑色痕跡的長(zhǎng)度等于傳送帶的位移和煤塊的位移之差．運(yùn)用牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式分段研究．