Question

16．質(zhì)譜儀是分離和檢測(cè)不同同位素的儀器．樣品在高溫管中蒸發(fā)、離解、原子化和電離，這些離子通過接口進(jìn)入質(zhì)譜儀真空系統(tǒng)．如圖所示，一個(gè)電荷量為+q的離子，從小孔S₁飄入電勢(shì)差為U的加速電場(chǎng)，其初速度幾乎為0，然后經(jīng)過C沿著圓形磁場(chǎng)半徑方向進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，最后打在E點(diǎn)上，已知圓形磁場(chǎng)的半徑為R，∠COE=60°
（1）求該離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑和離子質(zhì)量；
（2）若另一個(gè)質(zhì)量略小的同位素射入磁場(chǎng)，應(yīng)該打在E點(diǎn)的左側(cè)還是右側(cè)？請(qǐng)說明理由；
（3）減小勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度，使原來打在E點(diǎn)的離子打在D點(diǎn)，∠COD=120°，求改變后磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B′；
（4）設(shè)同位素在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑之差△r稱為分辨率，請(qǐng)列出數(shù)學(xué)表達(dá)式分析提高實(shí)驗(yàn)分辨率的方法．

Answer 1

分析 據(jù)動(dòng)能定理求出進(jìn)磁場(chǎng)的速度，畫出運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，根據(jù)幾何關(guān)系得出打在E點(diǎn)時(shí)的半徑，過C點(diǎn)和E點(diǎn)作半徑的垂線，交點(diǎn)是圓心，根據(jù)半徑公式聯(lián)立幾何關(guān)系求出m，質(zhì)量變小，半徑變小，打在E點(diǎn)左側(cè)，粒子打在D點(diǎn)時(shí)方法與第一問相同，只是半徑不同，根據(jù)軌跡圖求出半徑，其它同第一問，最后一問要把半徑之差的表達(dá)式推導(dǎo)出來再討論．

解答 解：（1）根據(jù)動(dòng)能定理：$qU=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$
得$v=\sqrt{\frac{2qU}{m}}$①
離子進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律得：$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$
得$r=\frac{mv}{qB}$②
畫出離子得運(yùn)動(dòng)軌跡如圖，根據(jù)幾何關(guān)系：$tan60°=\frac{R}{r}$
得$r=\frac{R}{\sqrt{3}}$③
聯(lián)立①②③$m=\frac{q{B}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}}{6U}$
（2）根據(jù)①②聯(lián)立得$r=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$，換用另一質(zhì)量略小的同位素，q相同，m偏小，r變小，應(yīng)該打在E點(diǎn)的左側(cè)
（3）減小磁感應(yīng)強(qiáng)度，半徑變大，畫出軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系求出半徑，$tan30°=\frac{R}{{r}_{\;}^{'}}$
得${r}_{\;}^{'}=\sqrt{3}R$
代入（2）問的式中，$\sqrt{3}R=\frac{1}{{B}_{\;}^{'}}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$
解得${B}_{\;}^{'}=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{2mU}{3q}}$
（4）由（2）的表達(dá)$r=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2U}{q}}\sqrt{m}$
${r}_{\;}^{'}=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2U}{q}}\sqrt{{m}_{\;}^{'}}$
$△r=r-r′=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2U}{q}}（\sqrt{m}-\sqrt{{m}_{\;}^{′}}）$
減小磁感應(yīng)強(qiáng)度或增加加速電壓能增加△r，提高分辨率
（1）求該離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑為$\frac{R}{\sqrt{3}}（或\frac{\sqrt{3}R}{3}）$和離子質(zhì)量$m=\frac{q{B}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}}{6U}$；
（2）若另一個(gè)質(zhì)量略小的同位素射入磁場(chǎng)，應(yīng)該打在E點(diǎn)的左側(cè)，因?yàn)榘霃阶冃×?br />（3）減小勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度，使原來打在E點(diǎn)的離子打在D點(diǎn)，∠COD=120°，求改變后磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B′=$\frac{1}{R}\sqrt{\frac{2mU}{3q}}$；
（4）設(shè)同位素在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑之差△r稱為分辨率，請(qǐng)列出數(shù)學(xué)表達(dá)式分析提高實(shí)驗(yàn)分辨率的方法$△r=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2U}{q}}（\sqrt{m}-\sqrt{{m}_{\;}^{′}}）$．減小磁感應(yīng)強(qiáng)度或增加加速電壓能增加△r，提高分辨率

點(diǎn)評(píng) 本題帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問題，關(guān)鍵是考查作圖能力，解題的三步驟：定圓心、畫軌跡、求半徑，在電場(chǎng)中的加速常用動(dòng)能定理列式，在磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)根據(jù)洛倫茲力提供向心力列式，這是解題的主要依據(jù)．