Question

1．如圖甲所示，空間中有一粒子源S，粒子源能源源不斷地向右水平發(fā)出速度為v₀=100m/s的帶正電的同種粒子，粒子的比荷是$\frac{q}{m}$=1.0×10³c/kg．右邊有兩水平的平行金屬板A、B，板長(zhǎng)L=0.2m．A板電勢(shì)φ隨時(shí)間變化關(guān)系如圖乙所示，B板接地，粒子沿兩金屬板A、B的中心線進(jìn)入，射出兩板后又進(jìn)入一水平的半徑R=0.4m的圓柱形磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)方向垂直紙面向外，磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.25T．S點(diǎn)發(fā)出的粒子在不受電場(chǎng)力和洛倫茲力的作用時(shí)將沿直線到達(dá)圓柱形磁場(chǎng)的中心線上，現(xiàn)調(diào)節(jié)兩板間的距離，使偏距最大的粒子恰好從板的右邊緣射出．不計(jì)粒子的重力，求：

（1）粒子在AB板間運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
（2）A、B板間的距離；
（3）粒子在磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)的時(shí)間差值的最大值．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場(chǎng)中沿水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由L=vt即可求出粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
（2）由于粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是電場(chǎng)變化一個(gè)周期的時(shí)間，結(jié)合運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性即可求出電場(chǎng)的最小距離；
（3）結(jié)合電場(chǎng)變化的周期性判斷出粒子都沿水平方向射出電場(chǎng)，由洛侖茲力提供向心力求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑，最后由幾何關(guān)系得出最大的時(shí)間點(diǎn)與最小的時(shí)間點(diǎn)，結(jié)合周期公式即可求出時(shí)間的最大差．

解答 解：（1）沿平行于極板的方向．粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，得：L=v₀t
所以：t=$\frac{L}{{v}_{0}}=\frac{0.2}{100}=2×1{0}^{-3}$s
（2）由題，結(jié)合（1）的結(jié)果可知，粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間恰好等于電場(chǎng)變化的一個(gè)周期的時(shí)間，結(jié)合運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性可知，當(dāng)時(shí)間t=0或t=$\frac{nT}{2}$時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)的粒子在電場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)量最大，在t=0時(shí)刻進(jìn)入的粒子：
$\frac{1}{2}d=2×\frac{1}{2}a{t}^{2}$
加速度：$a=\frac{qE}{m}=\frac{qU}{md}$
聯(lián)立以上公式，代入數(shù)據(jù)得：d=0.4m
（3）由題圖可知，AB極板之間的電勢(shì)差的大小是相等的，方向相反，所以兩種情況下電荷受到的電場(chǎng)力的大小相等，方向相反，所以加速度的大小相等，方向相反，由△v=at₁-at₂，可知在任意一個(gè)周期內(nèi)，粒子沿電場(chǎng)線的方向的速度不會(huì)是0，所以可知在任意時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)的粒子，射出電場(chǎng)時(shí)速度的方向都沿平行于極板的方向．
粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后洛侖茲力提供向心力，則：
$q{v}_{0}B=\frac{m{v}_{0}^{2}}{r}$
得：r=$\frac{m{v}_{0}}{qB}=\frac{100}{1.0×1{0}^{3}×0.25}=0.4$m=R
由于S點(diǎn)發(fā)出的粒子在不受電場(chǎng)力和洛倫茲力的作用時(shí)將沿直線到達(dá)圓柱形磁場(chǎng)的中心線上，可知磁場(chǎng)區(qū)域的邊界恰好與電場(chǎng)的極板的延長(zhǎng)線相切．又由于磁場(chǎng)的方向向外，根據(jù)左手定則可知，進(jìn)入磁場(chǎng)的粒子將向下偏轉(zhuǎn)，結(jié)合r=R，所以，沿下極板進(jìn)入磁場(chǎng)的粒子立刻離開磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是0，而沿上極板進(jìn)入磁場(chǎng)的粒子立刻在磁場(chǎng)中向下偏轉(zhuǎn)，由于粒子運(yùn)動(dòng)的半徑r=R，所以粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間恰好是半個(gè)周期，此時(shí)粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的角度最大，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)．粒子的周期：$T=\frac{2πr}{{v}_{0}}=\frac{2πm}{qB}$
所以最長(zhǎng)時(shí)間：${t}_{m}=\frac{1}{2}T=\frac{πm}{qB}$=$\frac{3.14}{1.0×1{0}^{3}×0.25}=1.256×1{0}^{-2}$s
所以粒子在磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)的時(shí)間差值的最大值是1.256×10^-2s
答：
（1）粒子在AB板間運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是0.2s；
（2）A、B板間的距離是0.4m；
（3）粒子在磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)的時(shí)間差值的最大值是1.256×10^-2s．

點(diǎn)評(píng) 該題考查帶電粒子在組合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，解決本題的關(guān)鍵是將粒子在電場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)情況與電場(chǎng)的交變周期對(duì)應(yīng)起來，判斷出粒子沿平行于極板的方向射出電場(chǎng)．