Question

【題目】如圖甲所示，在直角坐標(biāo)系xOy中的四個點(diǎn)P（O，L）、Q（L，0）、M（0，-L）、N（-L、0）為PQMN的四個頂點(diǎn)，在△PQN范圍內(nèi)分布著勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時間變化的圖像如圖乙所示（圖像中T為未知量），設(shè)垂直紙面向外為正方向；△MQN內(nèi)的勻強(qiáng)磁場與△PQN內(nèi)的磁場總是大小相等、方向相反。在PQMN區(qū)域外，分別存在著場強(qiáng)大小為E的勻強(qiáng)電場，其方向分別與正方形區(qū)域PQMN在各象限內(nèi)的邊界垂直且指向正方形內(nèi)部。質(zhì)量為m、電荷量為q帶正電的粒子在0內(nèi)某一時刻從原點(diǎn)O沿y軸正方向射入磁場，此后在xOy平面內(nèi)做周期性運(yùn)動。已知粒子在電場內(nèi)做直線運(yùn)動，且每當(dāng)磁場方向發(fā)生變化時粒子恰好從電場射磁場。重力不計，忽略粒子運(yùn)動對電、磁場的影響。上述L、B0、m、q、E為已知量。

(1)若粒子從出發(fā)到第一次回到O點(diǎn)過程中，在磁場中運(yùn)動的時間小于，求該粒子的初速度；

(2)求滿足第一問條件下，粒子從出發(fā)到第一次回到O點(diǎn)的路程；

(3)求粒子初速度的所有可能值及對應(yīng)的磁場變化的周期T。

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3) （n=0，1，2，3，…），（n=0，1，2，3，…）

【解析】

(1)若粒子從出發(fā)到第一次回到O點(diǎn)過程中，在磁場中運(yùn)動的時間小于，則粒子在磁場中的軌跡如圖1所示

由幾何關(guān)系得

粒子在磁場中運(yùn)動時，洛倫茲力提供向心力，則

解得粒子的初速度

(2)滿足第一問條件下，設(shè)粒子在電場中軌跡的長度為x1，則

解得粒子在電場中軌跡的長度

粒子從出發(fā)到第一次回到O點(diǎn)的路程

(3)粒子在xOy平面內(nèi)的周期性運(yùn)動，一周期內(nèi)，粒子在磁場中運(yùn)動時間可能為，其中n=0，1，2，3…...。當(dāng)n=0，1，2時，軌跡分別如圖1、2、3所示

由以上分析可知，粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑的可能值為

根據(jù)洛倫茲力提供向心力，則有

可得初速度的所有可能值為

一個周期內(nèi)粒子在電場中運(yùn)動的可能時間為

磁場變化的周期T的可能值為

其中n=0，1，2，3，…