Question

受控核聚變過程中可釋放出巨大的內能，對于參與核聚變的帶電粒子而言，沒有通常意義上的“容器”可裝．科技工作者設計出了一種利用磁場約束帶電粒子運動，使參與核聚變的帶電粒子約束在某個區(qū)域內的控制方案，這個方案的核心可簡化為如下的模型：如圖所示是一個截面為內徑R₁=0.10m、外徑R₂=0.20m的環(huán)狀區(qū)域，O點為該環(huán)狀區(qū)域的圓心，區(qū)域內有垂直于截面向里的勻強磁場，磁感應強度B=0.50T．將帶電粒子源置于環(huán)狀區(qū)域內側的A點（位于O點的正下方），若帶電粒子源能沿垂直磁場方向連續(xù)地向各個方向射出氦核，已知氦核的比荷q/m=4.8×10⁷C/kg，不計帶電粒子之間的相互作用力及其所受的重力．
（1）若氦核從A點射出時的速度大小為4.8×10⁵m/s，則它在磁場區(qū)域內做勻速圓周運動的半徑為多大？
（2）若某氦核從A點射出后，恰好能沿磁場區(qū)域的內側運動，則此氦核由A點射出時的速度大小和方向如何？
（3）假設粒子源向各個方向射出的氦核的最大速率都相同，若要使射入磁場的所有氦核都不能穿出磁場外邊界，求氦核的最大速率．

Answer 1

【答案】分析：（1）氦核從A點射出后，在磁感應強度為B的勻強磁場中做半徑為r的勻速圓周運動，由洛侖茲力公式和牛頓第二定律求出半徑r．
（2）氦核從A點射出后，恰好能沿磁場區(qū)域的內側運動，軌跡半徑為R₁=0.10m．根據左手定則可判斷氦核在A點的速度方向．
（3）粒子沿環(huán)狀域的內圓的切線方向射入磁場，軌道與外圓相切時，此時的軌道半徑最大，此時粒子若不能出磁場，則所以粒子都不會出磁場，根據幾何關系求出軌道半徑，再通過軌道半徑公式求出最大的速度．
解答：解：（1）設氦核質量為m，電荷為q，以速度v在磁感應強度為B的勻強磁場中做半徑為r的勻速圓周運動，由洛侖茲力公式和牛頓第二定律有：
   qvB=
解得：r==2.0×10^-2m
（2）因氦核帶正電，且在磁場中做半徑為R₁的勻速圓周運動，所受洛侖茲力一定指向O點，根據左手定則可判斷出，氦核在A點的速度方向為水平向右．
設此時氦核的速度為大小為v₁，則由洛侖茲力公式和牛頓第二定律有：
  qvB=
解得：v₁==2.4×10⁶m/s．
（3）當氦核以v_m的速度沿與內圓相切的方向射入磁場且軌道與外圓相切時，則以速度v_m沿各方向射入磁場區(qū)的氦核都不能穿出磁場外邊界．由答圖3中知此氦核的半徑
   r′==0.05m．
由 qvB=，得 r=，
在速度為v_m時不穿出磁場外邊界應滿足的條件是
  ≤r′
所以 v_m≤=1.2×10⁶m/s．

答：
（1）它在磁場區(qū)域內做勻速圓周運動的半徑為2.0×10^-2m．
（2）氦核由A點射出時的速度大小為2.4×10⁶m/s，氦核在A點的速度方向為水平向右．
（3）氦核的最大速率是1.2×10⁶m/s．．
點評：本題粒子在有圓形邊界的磁場做勻速圓周運動的問題，畫出軌跡，根據幾何知識分析臨界條件，求半徑和圓心角是常用的思路．