Question

12．如圖所示，一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的絕緣輕繩的一端固定在O點(diǎn)，另一端連接著一個(gè)帶正電的小球，小球可視為質(zhì)點(diǎn)，其質(zhì)量為m，電荷量為q．在O點(diǎn)正上方和正下方距O點(diǎn)L處，各固定一個(gè)絕緣彈性擋板A和B，兩個(gè)擋板尺寸很小，均豎直放置．此裝置處在一個(gè)豎直勻強(qiáng)電場(chǎng)中，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為E=mg/q，方向最初豎直向上．現(xiàn)將小球拉到O點(diǎn)右側(cè)同一高度且距O點(diǎn)L處，給它一個(gè)豎直向上的初速度v₀=$\sqrt{2gL}$．此后小球在A、B之間的右側(cè)區(qū)域豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，并不時(shí)與A、B擋板碰撞，在小球與A、B擋板碰撞時(shí)，通過(guò)兩擋板上安裝的傳感器和控制電路，控制電場(chǎng)方向在碰后瞬間反向，不計(jì)碰撞中的能量損失，重力加速度為g，求：
（1）小球與A、B擋板第一次碰前瞬間，繩中的拉力分別為多少？
（2）若輕繩可以承受的最大拉力為70mg，則在繩斷之前，小球與B擋板碰撞了多少次？

Answer 1

分析 （1）小球受到的重力和電場(chǎng)力之和為零，故小球以v₀做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．第一次碰后利用動(dòng)能定理求的到達(dá)B點(diǎn)的速度，由牛頓第二定律求的拉力．
（2）在以后的碰撞過(guò)程中間的運(yùn)動(dòng)利用動(dòng)能定理求的碰撞時(shí)的速度，利用牛頓第二定律求的拉力，即可判斷

解答 解：（1）小球第一次與A碰之前，qE=mg且方向相反
做勻速圓周運(yùn)動(dòng)
所以小球與A板第一次碰前，速度為${v}_{0}^{\;}=\sqrt{2gL}$
T_A1=$m\frac{{v}_{0}^{2}}{L}$=2mg
小球從與A板第一次碰后到B板第一次碰前的過(guò)程中
（qE+mg）2L=$\frac{1}{2}$mv_B1²-$\frac{1}{2}$mv₀²
v_B1=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+8gL}$=$\sqrt{10gL}$
小球與B板第一次碰前T_B1-qE-mg=m$\frac{{v}_{B1}^{2}}{L}$
得：T_B1=12mg
（2）小球從與板第一次碰后到與板第二次碰前，qE=mg且方向相反，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．所以球與A板第二次碰前${v}_{A2}^{\;}={v}_{B1}^{\;}=\sqrt{10gL}$所以此時(shí)細(xì)繩中拉力  ${T}_{A2}^{\;}=m\frac{{v}_{A2}^{2}}{L}$小球從與A板第二次碰后到與B板第二次碰前的過(guò)程中$（qE+mg）2L=\frac{1}{2}m{v}_{B2}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{A2}^{2}$
所以${v}_{B2}^{\;}=\sqrt{{v}_{A2}^{2}+8gL}=\sqrt{18gL}$
小球與板第二次碰前T_B2-qE-mg=$m\frac{{v}_{B2}^{2}}{L}$
所以T_B2=20mg
綜上分析可知，小球每次與A，B板碰前，繩中拉力比上一次碰前增加△T=8mg
則小球與B檔板第n次碰面，繩中拉力T_Bn=T_B1+（n-1）△T=（8n+4）mg
若繩斷，則T_Bn≥70mg
聯(lián)立得：n≥8所以小球在繩斷前與B擋板碰撞了8次．           

答：（1）小球與A、B擋板第一次碰前瞬間，繩中的拉力分別為2mg和12mg；
（2）若輕繩可以承受的最大拉力為50mg，則在繩斷之前，小球與B擋板碰撞了8次．

點(diǎn)評(píng) 本題要注意電場(chǎng)力與重力做功的特點(diǎn)，二力做功均與路徑無(wú)關(guān)，關(guān)鍵是抓住在小球向上運(yùn)動(dòng)時(shí)重力與電場(chǎng)力大小相等方向相反，電場(chǎng)力和重力做功之和為零，向下運(yùn)動(dòng)時(shí)重力和電場(chǎng)力做正功即可．