Question

12．如圖所示，質(zhì)量為M的平板車P高h(yuǎn)，質(zhì)量為m的小物塊Q的大小不計(jì)，位于平板車上方高為R處，另一端系一質(zhì)量也為m的小球（大小不計(jì)）．今將小球拉至懸線與豎直位置成60°角，由靜止釋放，小球到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)與Q的碰撞時(shí)間極短，且無機(jī)械能損失，已知Q離開平板車時(shí)速度大小是平板車速度的兩倍，Q與P之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，已知平板車的質(zhì)量M：m=4：1，重力加速度為g．求：
（1）小物塊Q離開平板車時(shí)，二者速度各為多大？
（2）平板車P的長(zhǎng)度為多少？
（3）小物塊Q落地時(shí)與小車的水平距離為多少？

Answer 1

分析 （1）小球由靜止擺到最低點(diǎn)的過程中，繩子的拉力不做功，只有重力做功，機(jī)械能守恒，即可由機(jī)械能守恒定律求出小球與Q碰撞前瞬間的速度．到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)與Q的碰撞時(shí)間極短，且無能量損失，滿足動(dòng)量守恒的條件且能量守恒，由兩大守恒定律結(jié)合可求出碰撞后小球與Q的速度．小物塊Q在平板車P上滑動(dòng)的過程中，系統(tǒng)的合外力為零，總動(dòng)量守恒，
即可由動(dòng)量守恒定律求出小物塊Q離開平板車時(shí)速度；
（2）小物塊Q在平板車P上滑動(dòng)的過程中，小球的部分動(dòng)能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能．根據(jù)系統(tǒng)的能量守恒求出平板車P的長(zhǎng)度．
（3）小物塊Q離開平板車做平拋運(yùn)動(dòng)，求出小物塊從開始運(yùn)動(dòng)到落地的水平距離，即為小物塊Q落地時(shí)距小球的水平距離．

解答 解：（1）對(duì)小球運(yùn)用動(dòng)能定理得：$mgR（1-cos60°）=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，
解得小球與Q碰撞前的速度為：${v}_{0}=\sqrt{gR}$，
小球與物塊Q相撞時(shí)，沒有能量損失，動(dòng)量守恒，機(jī)械能守恒，則有：
mv₀=mv₁+mv_Q
$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}m{{v}_{Q}}^{2}$
解得：v₁=0，v_Q=v₀=$\sqrt{gR}$．
二者交換速度，即小球靜止下來，Q在平板車上滑行的過程中，系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，則有：
mv_Q=Mv+m•2v
解得：$v=\frac{1}{6}{v}_{Q}=\frac{\sqrt{gR}}{6}$，
小物塊Q離開平板車時(shí)，速度為：2v=$\frac{\sqrt{gR}}{3}$
（2）由能的轉(zhuǎn)化和守恒定律，知：
fL=$\frac{1}{2}m{{v}_{Q}}^{2}-\frac{1}{2}M{v}^{2}-\frac{1}{2}m（2v）^{2}$
又f=μmg
解得，平板車P的長(zhǎng)度為：L=$\frac{7R}{18μ}$．
（3）小物塊Q在平板車上滑行過程中，對(duì)地位移為s，則有：
-μmgs=$\frac{1}{2}m（2v）^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{Q}}^{2}$
解得：s=$\frac{4R}{9μ}$．
小物塊Q離開平板車做平拋運(yùn)動(dòng)，平拋時(shí)間為：t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$
水平距離為：x=2vt=$\frac{\sqrt{2gR}}{3}$．
故Q落地點(diǎn)距小球的水平距離為：s+x=$\frac{4R}{9μ}+\frac{\sqrt{2gR}}{3}$．
答：（1）小物塊Q離開平板車時(shí)，二者速度各為$\frac{\sqrt{gR}}{6}、\frac{\sqrt{gR}}{3}$．
（2）平板車P的長(zhǎng)度為$\frac{7R}{18μ}$．
（3）小物塊Q落地時(shí)與小車的水平距離為$\frac{4R}{9μ}+\frac{\sqrt{2gR}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題采用程序法，逐一分析物體間的相互作用過程，分析得到物體間相互作用時(shí)滿足的規(guī)律：動(dòng)量守恒、能量守恒等，進(jìn)而求出要求的物理量．