Question

19．在足夠高的光滑水平臺(tái)面上靜置一質(zhì)量為m的木板A，在木板的右端靜置一質(zhì)量為4m可視為質(zhì)點(diǎn)的小物體B，A、B間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)μ=0.25，且認(rèn)為最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力．離A右端足夠遠(yuǎn)的平臺(tái)邊緣有一光滑定滑輪，用不可伸長(zhǎng)的輕繩繞過(guò)定滑輪連接A和質(zhì)量也為m的物體C，現(xiàn)由靜止釋放C，當(dāng)它自由下落L時(shí)輕繩繃緊．當(dāng)B與A相對(duì)靜止時(shí)剛好到達(dá)A的左端．若重力加速度為g，不計(jì)空氣阻力，不考慮A與滑輪碰撞及之后的情形．
（1）求輕繩繃緊后瞬間物體C的速度大小；
（2）求木板A的長(zhǎng)度；
（3）若物體B帶有一定量的正電，其電荷量恒為q，輕繩剛繃緊的瞬間在空間加一水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在保證物體B能滑離木板A的情況下求A、B間摩擦生熱的最大極限值．

Answer 1

分析 （1）C自由釋放到輕繩繃緊前瞬間機(jī)械能守恒，據(jù)機(jī)械能守恒定律求出此瞬間C的速度．繩繃緊前、后瞬間A、C組成的系統(tǒng)，內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力，系統(tǒng)的動(dòng)量守恒．根據(jù)動(dòng)量守恒定律可求出繩繃緊后瞬間物體C的速度大�。�
（2）繩繃緊后，根據(jù)牛頓第二定律對(duì)AC系統(tǒng)列式，可知AC向右勻速運(yùn)動(dòng)．B向右勻加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律求得B的加速度．由公式v=at求出從繩繃緊至二者共速所經(jīng)過(guò)的時(shí)間，再由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出二者相對(duì)位移大小，即為木板A的長(zhǎng)度．
（3）摩擦生熱等于滑動(dòng)摩擦力大小與相對(duì)位移大小的乘積，當(dāng)相對(duì)位移最大時(shí)，摩擦生熱達(dá)到最大極限值．A、B共速后能使B相對(duì)A向右運(yùn)動(dòng)的最小電場(chǎng)對(duì)應(yīng)最大的產(chǎn)熱．根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出最大相對(duì)位移，即可求解．

解答 解：（1）自由釋放C至輕繩繃緊前瞬間，由機(jī)械能守恒，得：
   mgL=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，v₀=$\sqrt{2gL}$
繩繃緊前、后瞬間A、C組成的系統(tǒng)，內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力，系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，則有：mv₀=2mv，
得 v=$\frac{1}{2}\sqrt{2gL}$
（2）繩繃緊后，對(duì)A和C系統(tǒng)有：mg-4μmg=2ma₁，μ=0.25
可得 a₁=0，二者勻速運(yùn)動(dòng)
對(duì)B，有 4μmg=4ma₂，得 a₂=0.25g，勻加速運(yùn)動(dòng)．
從繩繃緊至二者共速 a₂t=v，t=$\frac{v}{{a}_{2}}$=2$\sqrt{\frac{2L}{g}}$
A板的長(zhǎng)度即為二者相對(duì)位移大小，L_A=x_A-x_B=vt-$\frac{v}{2}t$=L
（3）經(jīng)分析，A、B共速后能使B相對(duì)A向右運(yùn)動(dòng)的最小電場(chǎng)對(duì)應(yīng)最大的產(chǎn)熱．臨界情形下，B與A加速度相同，且二者之間的摩擦力為最大靜摩擦力
對(duì)B：qE-4μmg=4ma
對(duì)AC：mg+4μmg=2ma
得a=g，E=$\frac{5mg}{q}$
繩繃緊至A、B共速前，A仍v勻速運(yùn)動(dòng)，對(duì)B
  qE+4μmg=4ma₂′
  a₂′t′=v
二者相對(duì)位移△x=vt′-$\frac{v}{2}t′$=$\frac{L}{6}$
之后，B又從A的右端滑出，所以全程摩擦產(chǎn)熱 Q_max=4μmg•△x=$\frac{1}{3}$mgL
答：
（1）輕繩繃緊后瞬間物體C的速度大小是$\frac{1}{2}\sqrt{2gL}$；
（2）木板A的長(zhǎng)度為L(zhǎng)；
（3）A、B間摩擦生熱的最大極限值是$\frac{1}{3}$mgL．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵能夠正確地受力分析，把握每個(gè)過(guò)程的規(guī)律，運(yùn)用機(jī)械能守恒定律、動(dòng)量守恒定律、牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合進(jìn)行處理．注意研究對(duì)象的選擇．