Question

8．如圖所示空間存在豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，現(xiàn)將間距為L(zhǎng)=1m的平行導(dǎo)軌放在磁場(chǎng)中，左端接有阻值為R=2Ω的定值電阻，其中導(dǎo)軌由水平軌道和半圓軌道兩部分，這兩部分在CD處平滑連接，AB為半圓軌道的最高點(diǎn)，如圖將一長(zhǎng)度也為L(zhǎng)=1m的導(dǎo)體棒MN垂直水平軌道放在的水平部分，導(dǎo)體棒的出發(fā)點(diǎn)到CD的距離為x=3m，整個(gè)過(guò)程導(dǎo)體棒與軌道的摩擦力可忽略不計(jì)，且導(dǎo)體棒始終與軌道垂直并保持良好的接觸，導(dǎo)體棒經(jīng)過(guò)銜接點(diǎn)的能量損失不計(jì)，導(dǎo)軌的電阻忽略不計(jì)．已知導(dǎo)體棒的質(zhì)量為m=1kg、電阻為r=1Ω，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=1T，半圓導(dǎo)軌的半徑為r₀=1m，重力加速度g=10m/s2．求：
（1）如果在一外力的作用下使導(dǎo)體棒以v=3m/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)到AB位置，則該過(guò)程中導(dǎo)體棒所受的安培力多大？
（2）如果導(dǎo)體棒剛好經(jīng)過(guò)軌道的最高點(diǎn)，則導(dǎo)體棒在最高點(diǎn)時(shí)定值電阻上消耗的電功率多大？
（3）如果導(dǎo)體棒以v=3/m的速率運(yùn)動(dòng)，則導(dǎo)體棒從初始位置一直運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過(guò)程中，定值電阻上產(chǎn)生的焦耳熱為多少？（結(jié)果保留兩位小數(shù)）

Answer 1

分析 （1）由E=BLv求的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，在求出感應(yīng)電流，由F=BIL求的安培力；
（2）由牛頓第二定律求的CD處的速度，由閉合電路的歐姆定律求的CD電壓；
（3）求出在水平部分和圓弧部分產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，由$\frac{{E}^{2}}{{R}_{總}(cāng)}$求的產(chǎn)生的焦耳熱

解答 解：（1）產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：E=BLv=1×1×3=3V
形成的感應(yīng)電流為：I=$\frac{E}{R+r}$=$\frac{3}{2+1}=1A$
受到的安培力為：F=BIL=1×1×1=1N             
（2）設(shè)棒在最高點(diǎn)CD處的速度為v₂，由牛頓第二定律得：$mg=\frac{m{v}_{2}^{2}}{{r}_{0}}$
解得：v₂=$\sqrt{10}$m/s               
E=BLv₂=1×$1×\sqrt{10}$=$\sqrt{10}$V，回路中的電流I=$\frac{E}{R+r}=\frac{\sqrt{10}}{3}$A
定值電阻上消耗的電功率：P=${I}^{2}R=（\frac{\sqrt{10}}{3}）^{2}×2=\frac{20}{9}W$
（3）在水平軌道上，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：E=BLv=1×1×3=3V，電流：I=$\frac{E}{R+r}=\frac{3}{2+1}=1A$，運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t1=$\frac{x}{v}=\frac{3}{3}=1s$
過(guò)程中R上產(chǎn)生的焦耳熱：${Q}_{1}={I}^{2}R{t}_{1}={1}^{2}×2×1=2J$
在半圓軌道上，運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，電動(dòng)勢(shì)的e=BLvcosθ，θ為速度與水平方向的夾角，可知電壓為余弦式交流電，
感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最大值為：E_m=Blv=3V，則電壓的有效值為：$U=\frac{{E}_{m}}{\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}V$，回路中電流為：I₂=$\frac{U}{R+r}=\frac{3\sqrt{2}}{2×3}=\frac{\sqrt{2}}{2}A$  運(yùn)動(dòng)時(shí)間：${t}_{2}=\frac{π{r}_{0}}{v}=\frac{π}{3}$          
這個(gè)過(guò)程中R上產(chǎn)生的焦耳熱：${Q}_{2}={I}_{2}^{2}R{t}_{2}$=$（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}×2×\frac{π}{3}=\frac{π}{3}$
回路中總熱量：Q=Q₁+Q₂=2$+\frac{π}{3}=3.04J$
答：（1）過(guò)程中導(dǎo)體棒所受的安培力為1N
（2）導(dǎo)體棒在最高點(diǎn)時(shí)定值電阻上消耗的電功率為$\frac{20}{9}W$
（3）定值電阻上產(chǎn)生的焦耳熱為3.04J

點(diǎn)評(píng) 本題是電磁感應(yīng)與力學(xué)、交變電流的綜合，要明確導(dǎo)體棒恰好能通過(guò)軌道最高點(diǎn)CD處的臨界條件，把握在半圓軌道上產(chǎn)生的感應(yīng)電流規(guī)律，知道對(duì)于交變電流，必須用有效值求熱量．