Question

11．如圖所示，質(zhì)量為m的小球P與穿過(guò)光滑平板中央小孔O的輕繩相連，用力拉著使P做半徑為a的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，角速度為ω．求：
（1）拉力F是多少？
（2）若使繩突然從原狀態(tài)迅速放開(kāi)后再拉緊，使P做半徑為b的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則放開(kāi)過(guò)程的時(shí)間是多少？
（3）P做半徑為b的勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)角速度多大？加速度多大？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律求解拉力F．
（2）繩子松開(kāi)后球沿速度方向做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，由幾何關(guān)系求解位移，從而可求得時(shí)間．
（3）當(dāng)繩子再次繃緊時(shí)，球沿繩子方向的速度突然減至零，以垂直于繩子方向的速度做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由幾何關(guān)系和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解即可．

解答 解：（1）根據(jù)牛頓第二定律得：F=maω²；
（2）繩子松開(kāi)后球沿速度方向做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，如右上圖所示，由幾何知識(shí)知球通過(guò)的位移為 x=$\sqrt{^{2}-{a}^{2}}$
運(yùn)動(dòng)速度為 v_a=aω
所以放開(kāi)過(guò)程的時(shí)間是 t=$\frac{x}{{v}_{a}}$=$\frac{\sqrt{^{2}-{a}^{2}}}{aω}$
（3）小球沿圓周運(yùn)動(dòng)的切線(xiàn)方向飛出，當(dāng)?shù)竭_(dá)軌道b時(shí)，繩子突然繃緊，小球沿繩子方向的速度突然減至零，小球以垂直于繩子方向的速度做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如右下圖，v_b=v_asinθ=$\frac{a}$v_a．
所以P做半徑為b的勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)角速度為ω_b=$\frac{{v}_}$=$\frac{a{v}_{a}}{^{2}}$=$\frac{{a}^{2}ω}{^{2}}$
加速度為 a_b=v_bω_b=$\frac{{a}^{4}}{^{3}}$ω²；
答：
（1）拉力F是maω²；
（2）若使繩突然從原狀態(tài)迅速放開(kāi)后再拉緊，使P做半徑為b的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則放開(kāi)過(guò)程的時(shí)間是$\frac{\sqrt{^{2}-{a}^{2}}}{aω}$．
（3）P做半徑為b的勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)角速度是$\frac{{a}^{2}ω}{^{2}}$，加速度$\frac{{a}^{4}}{^{3}}$ω²．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要抓住繩子繃緊時(shí)沿繩子方向的速度減至零，將速度進(jìn)行分解進(jìn)行研究．同時(shí)要熟練運(yùn)用幾何知識(shí)幫助解決此題．