Question

8．光滑絕緣半球槽的半徑為R，處在水平向右的勻強電場中，一質量為m的帶電小球從槽的右段A處無初速度沿軌道滑下，滑到最低點B時，球對軌道的壓力為20N．求：
（1）小球受到的電場力的大小和方向；
（2）帶電小球在滑動過程中的最大速度．

Answer 1

分析 （1）利用牛頓第二定律和動能定理即可判斷歘電場力的大小和方向；
（2）在下滑過程中利用動能定理和數(shù)學三角函數(shù)即可判斷

解答 解：（1）設小球運動到最低端位置B時速度為v，此時有$N-mg=\frac{{mv}_{B}^{2}}{R}$
設電場力方向向右，則有$mgR-FR=\frac{1}{2}{mv}_{B}^{2}-0$
解得$F=\frac{1}{2}mg$，方向與假設方向相符，水平向右
（2）速度最大時，合力與速度方向垂直
設此時重力與電場力的合力與豎直方向夾角為θ，有
$mgRcosθ-FR（1-sinθ）=\frac{1}{2}m{v}_{max}^{2}$
tan$θ=\frac{F}{mg}=\frac{1}{2}$，sin$θ=\frac{1}{\sqrt{5}}$，cos$θ=\frac{2}{\sqrt{5}}$
解得${v}_{max}=\sqrt{gR（2cosθ-1+sinθ）}=\sqrt{gR（\sqrt{5}-1）}$
答：（1）小球受到的電場力的大小為$\frac{1}{2}mg$，方向向右；
（2）帶電小球在滑動過程中的最大速度為$\sqrt{gR（\sqrt{5}-1）}$．

點評 本題主要考查了動能定理的直接應用，利用好三角函數(shù)即可