Question

在xoy平面直角坐標(biāo)系的第Ⅰ象限有射線OA，OA與x軸正方向夾角為30°，如圖所示，OA與y軸所夾區(qū)域存在y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，其它區(qū)域存在垂直坐標(biāo)平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)；有一帶正電粒子質(zhì)量m，電量q，從y軸上的P點(diǎn)沿著x軸正方向以大小為v₀的初速度射入電場(chǎng)，運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間沿垂直于OA方向經(jīng)過Q點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)，過y軸正半軸上的M點(diǎn)再次垂直進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)。已知OP = h，不計(jì)粒子的重力。

⑴ 求粒子垂直射線OA經(jīng)過Q點(diǎn)的速度v_Q；
⑵ 求勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E與勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的比值；
⑶ 粒子從M點(diǎn)垂直進(jìn)入電場(chǎng)后，如果適當(dāng)改變電場(chǎng)強(qiáng)度，可以使粒子再次垂直O(jiān)A進(jìn)入磁場(chǎng)，再適當(dāng)改變磁場(chǎng)的強(qiáng)弱，可以使粒子再次從y軸正方向上某點(diǎn)垂直進(jìn)入電場(chǎng)；如此不斷改變電場(chǎng)和磁場(chǎng)，會(huì)使粒子每次都能從y軸正方向上某點(diǎn)垂直進(jìn)入電場(chǎng)，再垂直O(jiān)A方向進(jìn)入磁場(chǎng)……，求粒子從P點(diǎn)開始經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間能夠運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)？

Answer 1

（1） （2）  （3）

試題分析：⑴設(shè)垂直O(jiān)A到達(dá)Q點(diǎn)的速度為，將速度分解為水平方向的和豎直方向的，如圖所示，則
，（1分）
（1分）
⑵做出粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖，根據(jù)幾何知識(shí)可得出原點(diǎn)O即為軌跡圓的圓心，OQ為軌跡圓的半徑，設(shè)為R。

在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，由類平拋的知識(shí)可得：
，，
可求得（1分）
在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，由圓周運(yùn)動(dòng)的知識(shí)可得：
，。   （1分）
所以    （1分）
⑶設(shè)粒子第一次在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R₁，在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₁₁，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₁₂，在電場(chǎng)、磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為t₁，則有
，，    （1分）
又由解得，    （1分）
從而有      （1分）
由題意知，改變電場(chǎng)、磁場(chǎng)的強(qiáng)弱后，粒子重復(fù)前面的運(yùn)動(dòng)情況，又設(shè)粒子第二次在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R₂，在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₂₁，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₂₂，在電場(chǎng)、磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為t₂，類似上面的求解，有
，，
又由解得，，將此結(jié)果代入上式可得
      （1分）
…………
類推可知，粒子第n次在電場(chǎng)、磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間        （1分）
所以粒子最終運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)的時(shí)間為
       （1分）