Question

（25分）圖1所示為楊氏雙縫干涉實(shí)驗(yàn)的示意圖，取紙面為yz平面。y、z軸的方向如圖所示。線光源S通過(guò)z軸，雙縫S₁、S₂對(duì)稱分布在z軸兩側(cè)，它們以及屏P都垂直于紙面。雙縫間的距離為d，光源S到雙縫的距離為l，雙縫到屏的距離為D，，。

　　1.從z軸上的線光源S出發(fā)經(jīng)S₁、S₂不同路徑到P0點(diǎn)的光程差為零，相干的結(jié)果產(chǎn)生一亮紋，稱為零級(jí)亮紋。為了研究有一定寬度的擴(kuò)展光源對(duì)于干涉條紋清晰度的影響，我們先研究位于軸外的線光源S′形成的另一套干涉條紋，S′位于垂直于z軸的方向上且與S平行，兩者相距，則由線光源S′出發(fā)分別經(jīng)S₁、S₂產(chǎn)生的零級(jí)亮紋，與P₀的距離

　　2.當(dāng)光源寬度為的擴(kuò)展光源時(shí)，可將擴(kuò)展光源看作由一系列連續(xù)的、彼此獨(dú)立的、非相干的線光源組成。這樣，各線光源對(duì)應(yīng)的干涉條紋將彼此錯(cuò)開(kāi)，在屏上看到的將是這些干涉條紋的光強(qiáng)相加的結(jié)果，干涉條紋圖像將趨于模糊，條紋的清晰度下降。假設(shè)擴(kuò)展光源各處發(fā)出的光強(qiáng)相同、波長(zhǎng)皆為。當(dāng)增大導(dǎo)致零級(jí)亮紋的亮暗將完全不可分辨，則此時(shí)光源的寬度

　　3.在天文觀測(cè)中，可用上述干涉原理來(lái)測(cè)量星體的微小角直徑。遙遠(yuǎn)星體上每一點(diǎn)發(fā)出的光到達(dá)地球處都可視為平行光，從星體相對(duì)的兩邊緣點(diǎn)發(fā)來(lái)的兩組平行光之間的夾角就是星體的角直徑。遙遠(yuǎn)星體的角直徑很小，為測(cè)量如些微小的角直徑，邁克爾遜設(shè)計(jì)了測(cè)量干涉儀，其裝置簡(jiǎn)化為圖2所示。M1、M2、M3、M4是四個(gè)平面反射鏡，它們兩兩平行，對(duì)稱放置，與入射光（a、 a′）方向成45°角。S1和S2是一對(duì)小孔，它們之間的距離是d。M1和M2可以同步對(duì)稱調(diào)節(jié)來(lái)改變其中心間的距離h。雙孔屏到觀察屏之間的距離是D。a、 a′和b、 b′分別是從星體上相對(duì)著的兩邊緣點(diǎn)發(fā)來(lái)的平行光束。設(shè)光線a、 a′垂直雙孔屏和像屏，星光的波長(zhǎng)是，試導(dǎo)出星體上角直徑的計(jì)算式。

注：將星體作圓形擴(kuò)展光源處理時(shí)，研究擴(kuò)展光源的線度對(duì)于干涉條紋圖像清晰度的影響會(huì)遇到數(shù)學(xué)困難，為簡(jiǎn)化討論，本題擬將擴(kuò)展光源作寬度為的矩形光源處理。

圖1

圖2

　　

Answer 1

參考解答：

1．

2．

附1、2兩問(wèn)的參考解法：

1．求經(jīng)雙縫產(chǎn)生的干涉圖像的零級(jí)亮紋的位置

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，它也就是光源與S分別對(duì)應(yīng)的干涉條紋的零級(jí)亮紋之間的距離，即

       

由雙縫到點(diǎn)的光程差，從作的垂線交于H點(diǎn)，三角形與三角形相似，因， 則

               （附1）

從作的垂線交于G，到雙縫的光程差

                （附2）

三角形與三角形相似，因，則

               （附3）

對(duì)滿足零光程差條件的而言， 

       

得

               （附4）

2．在線光源情況下，可以導(dǎo)出雙縫干涉的相鄰兩亮紋的間距為

               （附5） 

值不同對(duì)應(yīng)著擴(kuò)展光源中不同位置的線光源．不難證明，它們經(jīng)雙縫產(chǎn)生干涉條紋的間距均如（5）式所示．寬度為w的擴(kuò)展光源是由一系列值不同的、連續(xù)分布的、相互獨(dú)立的線光源構(gòu)成．因此擴(kuò)展光源在觀察屏上產(chǎn)生的干涉圖像的強(qiáng)度是由每個(gè)線光源產(chǎn)生干涉條紋的強(qiáng)度相加而成．當(dāng)擴(kuò)展光源寬度為w時(shí)，對(duì)于光源最邊緣點(diǎn)有

               （附6）

代入（4）式

               （附7）

若

               （附8）

則相當(dāng)于擴(kuò)展光源最邊緣的線光源產(chǎn)生的干涉條紋錯(cuò)開(kāi)了一個(gè)條紋間距．由于擴(kuò)展光源各部分產(chǎn)生的干涉條紋的光強(qiáng)分布都相同，各套干涉條紋強(qiáng)度相加的結(jié)果使屏上各處光強(qiáng)相等，變得一片模糊而無(wú)法分辨．由（5）式和（7）式，求得為使條紋能被分辨，擴(kuò)展光源允許的最大寬度

               （附9）

3．

 解法一

如圖2所示，是由擴(kuò)展光源上端邊緣發(fā)出的平行光，是由擴(kuò)展光源下端邊緣發(fā)出的平行光．設(shè)光線交于點(diǎn)，光線交于點(diǎn)．光束中的光線經(jīng)過(guò)到達(dá)觀察屏上P點(diǎn)；光線經(jīng)過(guò)到達(dá)觀察屏上P點(diǎn)，兩相干光波產(chǎn)生干涉，在觀察屏上產(chǎn)生一套干涉條紋．同理，平行光束在觀察屏上產(chǎn)生另一套干涉條紋．從擴(kuò)展光源不同部位發(fā)出的、傾角在0和之間不同角度入射的平行光束，經(jīng)邁克爾遜測(cè)星儀相應(yīng)的反射鏡走過(guò)不同路徑到雙孔，然后在觀察屏上產(chǎn)生很多套干涉條紋．這些干涉條紋光強(qiáng)度彼此相加，屏幕上就形成了光強(qiáng)度的分布圖像．根據(jù)第2問(wèn)的結(jié)果，其清晰度取決于來(lái)自擴(kuò)展光源上下邊緣發(fā)出的平行光與分別在屏幕上產(chǎn)生兩套干涉條紋的相對(duì)位置錯(cuò)開(kāi)的程度．

由對(duì)稱性考慮，平行光束中兩條光線和在觀察屏上的光程差為0，即平行光產(chǎn)生的那套干涉條紋的零級(jí)亮紋就在處．現(xiàn)討論以傾角斜入射的平行光束通過(guò)整個(gè)光學(xué)裝置后，在觀察屏上某點(diǎn)發(fā)生干涉時(shí)的光程差．光束中的光線入射M₁的光線經(jīng)M₃反射到達(dá)，光線從點(diǎn)算起，所經(jīng)光程為；光線入射M₂的光線經(jīng)M₄反射到達(dá)，光線從點(diǎn)算起，所經(jīng)光程為．由對(duì)稱性可得

               （1）

也就是說(shuō)從M₁和M₂算起，光線和到達(dá)與的光程是相等的，但是光線和在到達(dá)M₁和M₂時(shí)，二者的相位卻不同．由作斜入射光線的垂線交點(diǎn)，與相位相等，因此，斜入射的兩條平行光線和到達(dá)S₁ 和S₂時(shí)的相位差是光程差引起的

               （2）

從擴(kuò)展光源下邊緣發(fā)出的平行光束斜入射到測(cè)星干涉儀，經(jīng)雙孔后發(fā)出的相干光在觀察屏上坐標(biāo)為y（坐標(biāo)原點(diǎn)取在上）的P點(diǎn)上引起的光程差

               （3）

其零級(jí)亮紋所在位置對(duì)應(yīng)的光程差，故的坐標(biāo)

               （4）

這也就是平行光與產(chǎn)生的干涉條紋的零級(jí)亮紋（也是兩套條紋）錯(cuò)開(kāi)的距離

                （5）

因在線光源情況下，可以導(dǎo)出雙孔干涉的相鄰兩亮紋的間距為

                                                                              （6）

當(dāng)二者錯(cuò)開(kāi)一個(gè)條紋間隔時(shí)，即，代入（6）式（星光波長(zhǎng)采用），得

               （7）

遠(yuǎn)處的星體作為擴(kuò)展光源發(fā)出的光經(jīng)過(guò)“測(cè)星儀”到達(dá)雙孔，在屏上觀察到干涉條紋的清晰度下降，由小到大調(diào)節(jié)M₁、M₂距離h，當(dāng)屏幕上條紋消失時(shí)，記下此時(shí)h的值代入（7）式就可確定擴(kuò)展光源角直徑的大�。�

注：實(shí)際星體都看作均勻亮度的圓形擴(kuò)展光源，通過(guò)調(diào)節(jié)h使屏幕上的干涉條紋消失，即各處強(qiáng)度完全相等時(shí)，通過(guò)數(shù)學(xué)計(jì)算，用邁克爾遜測(cè)星儀測(cè)量得的星體角直徑．

解法二

如圖3所示，對(duì)M₁、M₃而言，找出對(duì)的中間像和對(duì)所成的像以及光線a在M₁、M₃的反射點(diǎn)F和G．由物像的對(duì)稱性可知，，故

       

即從光線a上一點(diǎn)到和到的光程相等．同理可證，從光線b上一點(diǎn)到和到的光程相等；對(duì)M₂、M₄（未畫(huà)出）而言，從光線上一點(diǎn)到和到的光程相等；從光線上一點(diǎn)到和到的光程相等．

因此，光線a 到處與光線到處引起的光程差與沒(méi)有反射鏡M₁、M₂時(shí)兩光線到、處的光程相等．因a、垂直雙孔屏，故

               （1）

通過(guò)雙孔、后，光線a、在的光程差

               （2）

平行光束b斜入射時(shí)，可從、處求b、兩光線到達(dá)、處的光程差．由作的垂線（見(jiàn)圖4），

               （3）

說(shuō)明光線超前于光線b．

通過(guò)雙孔、后光線b、射出的相干光線在屏幕上形成的零級(jí)亮紋不可能位于處，因?yàn)槎�者到達(dá)雙孔前光線已超前了光線b，如圖5所示，光線經(jīng)過(guò)孔后要多走一段光程來(lái)抵消前面的相位差，以達(dá)到與光線b在沒(méi)有光程差的情況下相交于遠(yuǎn)方屏幕上，形成干涉零級(jí)亮紋．該點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的經(jīng)過(guò)孔后多走的光程        

               （4）

從可求得平行光束經(jīng)雙孔后在觀察屏上的干涉零級(jí)條紋位置．由（3）式和（4）式，得

                         （5）

的位置坐標(biāo)

                  （6）

由小到大調(diào)節(jié)反射鏡M₁、M₂之間的距離（也就是、之間的距離）h，直到屏幕上的干涉條紋消失，即各處強(qiáng)度完全相等時(shí)，記下此時(shí)h的值.這時(shí)相干光在屏幕上零級(jí)亮紋位置與的距離

               （7）

當(dāng)等于條紋間隔，即        

                 （8）

代入（7）式得

                  （9）                             

由（5）、（9）兩式，得

               （10） 

解法三

根據(jù)第2問(wèn)的結(jié)果，為使條紋能被分辨，擴(kuò)展光源的允許寬度為，從而擴(kuò)展光源對(duì)雙縫中心的張角為

                                             （1）

如圖3所示，對(duì)M₁、M₃而言，找出對(duì)的中間像和對(duì)所成的像以及光線a在M₁、M₃的反射點(diǎn)F和G．由物像的對(duì)稱性可知，，故

                                  

即從光線a上一點(diǎn)到和到的光程相等．同理可證，從光線b上一點(diǎn)到和到的光程相等；對(duì)M₂、M₄（未畫(huà)出）而言，從光線上一點(diǎn)到和到的光程相等；從光線上一點(diǎn)到和到的光程相等．從分析可知，為經(jīng)M₃、M₁反射的等效像點(diǎn)，為經(jīng)M₄、M₂反射的等效像點(diǎn)，從而可將測(cè)星干涉看作是經(jīng)雙孔、的等效楊氏雙縫干涉，其縫距為

                                       （2）

由小到大調(diào)節(jié)反射鏡M₁、M₂之間的距離（也就是、之間的距離）h，直到屏幕上的干涉條紋消失，即各處強(qiáng)度完全相等，這時(shí)只需將測(cè)得的h直接替換（1）式中的d，可得計(jì)算星體角直徑的公式

                             （3）

得到與前兩種解法相同的結(jié)果．