Question

【題目】設有一湖水足夠深的咸水湖，湖面寬闊而平靜．初始時將一體積很小的勻質正立方體物塊在湖面上由靜止開始釋放，釋放時物塊的下底面和湖水表面恰好相接觸．已知湖水密度為；物塊邊長為b，密度為，且．在只考慮物塊受重力和液體浮力作用的情況下，求物塊從初始位置出發(fā)往返一次所需的時間．

Answer 1

【答案】

【解析】

由于湖面足夠寬闊而物塊體積很小，湖面的絕對高度在物塊運動過程中始終保持不變，因此，可選湖面為坐標原點并以豎直向下方向為正方向建立坐標系，以下簡稱x系．設物塊下底面的坐標為x，在物塊未完全浸沒入湖水時，其所受到的浮力為

， ①

式中g為重力加速度。

物塊的重力為． ②

設物塊的加速度為a，根據牛頓第二定律有

③

將①和②式代入③式得． ④

將x系坐標原點向下移動而建立新坐標系，簡稱X系．新舊坐標的關系為

． ⑤

把⑤式代入④式得． ⑥

⑥式表示物塊的運動是簡諧振動．若X=0，則a=0，對應于物塊的平衡位置．由⑤式可知，當物塊處于平衡位置時，物塊下底面在x系中的坐標為

⑦

物塊運動方程在X系中可寫為

⑧

利用參考圓可將其振動速度表示為

， ⑨

式中為振動的圓頻率， ⑩

在⑧和⑨式中A和分別是振幅和初相位，由初始條件決定．在物塊剛被釋放時，即t=0時刻有x=0，由⑤式得

，

．

由⑧至式可求得

．

將⑩和式分別代入⑧和⑨式得

，

由式可知，物塊再次返回到初始位置時恰好完成一個振動周期．但物塊的運動始終由表示是有條件的，那就是在運動過程中物塊始終沒有完全浸沒在湖水中．若物塊從某時刻起全部浸沒在湖水中，則湖水作用于物塊的浮力變成恒力，物塊此后的運動將不再是簡諧振動，物塊再次返回到初始位置所需的時間也就不再全由振動的周期決定。為此，必須研究物塊可能完全浸沒在湖水中的情況。顯然，在x系中看，物下底面坐標為b時，物塊剛好被完全浸沒．由⑤式知在X系中這一臨界坐標值為

即物塊剛好完全浸沒在湖水中時，其下底面在平衡位置以下處．注意到在振動過程中，物塊下底面離平衡位置的最大距離等于振動的振幅A．下面分兩種情況討論，

Ⅰ．，由和兩式得．

在這種情況下，物塊在運動過程中至多剛好全部浸沒在湖水中．因而，物塊從初始位置起，經一個振動周期，再次返回至初始位置．由⑩式得振動周期為

物塊從初始位置出發(fā)往返一次所需的時間為

Ⅱ．，由和兩式得．

在這種情況下，物塊在運動過程中會從某時刻起全部浸沒在湖水表面之下．設從初始位置起，經過時間物塊剛好全部浸入湖水中，這時．由和式得

取合理值，有

由上式和式可求得這時物塊的速度為

此后，物塊在液體內作勻減速運動，以表示加速度的大小，由牛頓定律有

設物塊從剛好完全浸入湖水到速度為零時所用的時間為

由

得

物塊從初始位置出發(fā)往返一次所需的時間為