Question

7．如圖所示，豎直的四分之一圓弧光滑軌道固定在平臺(tái)AB上，軌道半徑R=1.8m，底端與平臺(tái)相切于A點(diǎn)．傾角為θ=37°的斜面BC緊靠平臺(tái)固定，斜面頂端與平臺(tái)等高．從圓弧軌道最高點(diǎn)由靜止釋放質(zhì)量為m=1kg的滑塊a，當(dāng)a運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的同時(shí)，與滑塊a質(zhì)量相同的滑塊b從斜面底端C點(diǎn)以速度v₀=5m/s沿斜面向上運(yùn)動(dòng)，a、b（視為質(zhì)點(diǎn)）恰好在斜面上的P點(diǎn)相遇，已知AB長度s=2m，a與AB面及b與BC面間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.5，重力加速度g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）滑塊a在圓弧軌道底端時(shí)對(duì)軌道壓力；
（2）滑塊到B點(diǎn)時(shí)的速度大��；
（3）斜面上P、C間的距離．

Answer 1

分析 （1）由動(dòng)能定理求出滑塊a到達(dá)A點(diǎn)時(shí)的速度，再由牛頓運(yùn)動(dòng)定律求解滑塊a在圓弧軌道底端時(shí)對(duì)軌道壓力；
（2）滑塊a在AB段做勻減速運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得到加速度，再由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解出滑塊a到B點(diǎn)時(shí)的速度大�。�
（3）滑塊a離開B點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，滑塊b沿斜面向上做勻減速運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出時(shí)間，再由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求PC間的距離．

解答 解：（1）在圓弧軌道上，由動(dòng)能定理
  mgR=$\frac{1}{2}$mv${\;}_A^2$
得v_A=6m/s    
在A點(diǎn)，由牛頓第二定律有 F_N-mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)得 F_N=3mg=30N     
由牛頓第三定律可知，N=30N，方向向下 
（2）由A→B，由牛頓第二定律及運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得
 μmg=ma_A    
-2a_As=v_B²-v_A²    
解得 v_B=4m/s  
（3）滑塊a離開B點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，則
 x=v_Bt
 y=$\frac{1}{2}$gt²
又有 tanθ=$\frac{y}{x}$     
代入數(shù)據(jù)得 t=0.6s    
滑塊b沿斜面向上運(yùn)動(dòng)，則牛頓第二定律
 a₁=gsinθ+μmgcosθ=10m/s²     
滑塊b從C點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)到速度為零時(shí)所用時(shí)間
 t₁=$\frac{{v}_{0}}{{a}_{1}}$=0.5s＜0.6s
因此，滑塊b要沿斜面下滑，由牛頓第二定律
 a₂=gsinθ-μgcosθ=2m/s²   
P、C間的距離x=v₀t₁-$\frac{1}{2}$a₁t₁²-$\frac{1}{2}$a₂（t-t₁）²=1.24m
答：
（1）滑塊a在圓弧軌道底端時(shí)對(duì)軌道壓力是30N，方向豎直向下；
（2）滑塊到B點(diǎn)時(shí)的速度大小是4m/s；
（3）斜面上P、C間的距離是1.24m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)能定理與平拋運(yùn)動(dòng)、圓周運(yùn)動(dòng)的綜合，知道圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來源，以及平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵，本題的難點(diǎn)在于確定出滑塊b在斜面上的運(yùn)動(dòng)情況．