Question

15．如圖所示，光滑水平面上靜止放著長(zhǎng)L=1.6m，質(zhì)量為M=3kg的木板（厚度不計(jì)），一個(gè)質(zhì)量為m=1kg的小物體放在木板的最右端，m和M之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.1，今對(duì)木板施加一水平向右的拉力F，（g取10m/s²）
（1）為使小物體不掉下去，F(xiàn)不能超過多少？
（2）如果拉力F=10N恒定不變，求小物體所能獲得的最大動(dòng)能？
（3）如果拉力F=10N，要使小物體從木板上掉下去，拉力F作用的時(shí)間至少為多少？

Answer 1

分析 （1）隔離小物體分析求出其臨界加速度，再根據(jù)整體分析求力F的最大值即可；
（2）拉力F不變，比較第一問的力F最大值知小物體最終滑離木板，由動(dòng)能定理知滑離時(shí)物體的動(dòng)能即為最大動(dòng)能；
（3）求得小物體能從木板上掉下去的臨界狀態(tài)，根據(jù)動(dòng)能定理求得速度，再由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式分析運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

解答 解：（1）物體隨木板運(yùn)動(dòng)的最大加速度為a，對(duì)小物體由牛頓第二定律：μmg=ma，
所以可得小物體最大加速度為：a=μg=0.1×10m/s²=1m/s²，
對(duì)整體分析，由牛頓第二定律得：F_m=（M+m）a=（4kg+1kg）×1m/s²=5N；     
（2）因施加的拉力F＞4N，故物塊相對(duì)木板相對(duì)滑動(dòng)，木板對(duì)地運(yùn)動(dòng)的加速度為a₁，
對(duì)木板由牛頓第二定律：F-μmg=Ma₁                                  
物塊在木板上相對(duì)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，有：L=$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}-\frac{1}{2}a{t}^{2}$
解得：t=$\sqrt{1.6}s$，
物塊脫離木板時(shí)的速度最大為：v_m=at=1m/s²×$\sqrt{1.6}$s=$\sqrt{1.6}m/s$
小物體所能獲得的最大動(dòng)能為：
${E}_{k}=\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{1}{2}×1×1.6J=0.8J$
（3）設(shè)木塊滑到木板最右端速度恰好與木板相同時(shí)，水平力作用的時(shí)間為t，相同速度v，此過程木板滑行的距離為s．
對(duì)系統(tǒng)，根據(jù)動(dòng)量定理得：
Ft=（M+m）v       ①
根據(jù)動(dòng)能定理得：
Fs-μmgL=$\frac{1}{2}$（M+m）v²   ②
又由牛頓第二定律得到木板加速運(yùn)動(dòng)的加速度為：
a=$\frac{F-μmg}{M}$    ③
此過程木板通過的位移為：s=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$   ④
聯(lián)立上述四式得：t=0.8s．
答：（1）為使物體與木板不發(fā)生滑動(dòng)，F(xiàn)不能超過5N；
（2）小物體所能獲得的最大動(dòng)能為0.8J；
（3）如果拉力F=10N，要使小物體從木板上掉下去，拉力F作用的時(shí)間至少為0.8s．

點(diǎn)評(píng) 本題是基本滑板模型問題，關(guān)鍵會(huì)判斷小物體和木板能否發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，以及一旦發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，能夠根據(jù)受力判斷物體的運(yùn)動(dòng)．