Question

（2012?珠海模擬）如圖，有位于豎直平面上的半徑為R的圓形光滑絕緣軌道，其上半部分處于豎直向下、場強(qiáng)為E的勻強(qiáng)電場中，下半部分處于垂直水平面向里的勻強(qiáng)磁場中；質(zhì)量為m，帶正電，電荷量為q的小球，從軌道的水平直徑的M端由靜止釋放，若小球在某一次通過最低點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力為零，求：
（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小；
（2）小球?qū)�軌道最低點(diǎn)的最大壓力；
（3）若要小球在圓形軌道內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動，求小球從軌道的水平直徑的M端下滑的最小速度．

Answer 1

分析：（1）小球在通過最低點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力為零，由此可知，在最低點(diǎn)時(shí)洛倫茲力和重力的合力恰好作為圓周運(yùn)動的向心力，根據(jù)向心力的公式即可以求得磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小；
（2）當(dāng)小球反向運(yùn)動時(shí)，小球受到的洛倫茲力的反向反向，在最低點(diǎn)時(shí)對小球受力分析，由向心力的公式可以求得小球?qū)�軌道最低點(diǎn)的最大壓力；
（3）在最高點(diǎn)時(shí)，小球的重力和電場力作為圓周運(yùn)動的向心力的大小，從M點(diǎn)到最高點(diǎn)的過程中，根據(jù)動能定理可以求得小球從軌道的水平直徑的M端下滑的最小速度．

解答：解：（1）設(shè)小球向右通過最低點(diǎn)時(shí)的速率為v，由題意得：
mgR=

1

2

mv²…①
qBv-mg=m

v2

R

…②
B=

3mg

q 2gR

．…③
（2）小球向左通過最低點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力最大．
F_N-mg-qBv=m

v2

R

…④
F_N=6mg．…⑤
（3）要小球完成圓周運(yùn)動的條件是在最高點(diǎn)滿足：
mg+qE=m

V 2 1

R

…⑥
從M點(diǎn)到最高點(diǎn)由動能定理得：
-mgR-qER=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 0

…⑦
由以上可得v₀=

3R(mg+qE) m

…⑧
答案：（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為

3mg

q 2gR

，
（2）小球?qū)�軌道最低點(diǎn)的最大壓力為6mg，
（3）小球從軌道的水平直徑的M端下滑的最小速度為

3R(mg+qE) m

．

點(diǎn)評：本題考查帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動，要掌握住半徑公式、周期公式，畫出粒子的運(yùn)動軌跡后，幾何關(guān)系就比較明顯了．