Question

4．為了實現(xiàn)登月計劃，先要測算地月之間的距離．已知地球表面重力加速度為g，地球半徑為R，在地面附近物體受到地球的萬有引力近似等于物體在地面上的重力，又知月球繞地球運動的周期為T，萬有引力常量為G．試求：
（1）地球的質量為多少？
（2）地球到月球之間的距離約為多少？（用已知量表示）

Answer 1

分析 根據在地面附近物體受到地球的萬有引力近似等于物體在地面上的重力，列出等式求出地球的質量．
研究月球繞地球運動，根據萬有引力提供向心力，列出等式求出軌道半徑也就是地月之間的距離．

解答 解：（1）根據在地面附近物體受到地球的萬有引力近似等于物體在地面上的重力，列出等式：
G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，得：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$
（2）研究月球繞地球運動，根據萬有引力提供向心力，列出等式：
由G$\frac{mM}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r，
得：r=$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$，
再根據GM=gR²，得r=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$
答：（1）地球的質量為$\frac{g{R}^{2}}{G}$，
（2）地月之間的距離為$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$．

點評 向心力的公式選取要根據題目提供的已知物理量或所求解的物理量選取應用．
運用黃金代換式GM=gR²求出問題是考試中常見的方法．