Question

19．輕質(zhì)彈簧原長為2l，將彈簧豎直放置在地面上，在其頂端將一質(zhì)量為5m的大物塊由靜止釋放，當(dāng)彈簧被壓縮到最短時(shí)，彈簧長度為l．現(xiàn)將該彈簧水平放置，一端固定在A點(diǎn)，另一端質(zhì)量為m小物塊P接觸但不連接．AB是長度為6l的水平軌道，B端與半徑為l的光滑半圓軌道BCD相切，半圓的直徑BD豎直，如圖所示．用外力推動(dòng)物塊P，將彈簧壓縮至長度l，撤去外力P開始沿軌道運(yùn)動(dòng)，物塊P通過D點(diǎn)后落在水平軌道上距離B點(diǎn)為4l的某點(diǎn)．重力加速度大小為g．求：
（1）P經(jīng)過D點(diǎn)時(shí)速度的大小，
（2）小物塊P與水平軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)．

Answer 1

分析 （1）物塊P從D點(diǎn)開始做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律即可求P經(jīng)過D點(diǎn)時(shí)速度的大��；
（2）當(dāng)彈簧豎直放置在地面上時(shí)，對(duì)物塊運(yùn)用動(dòng)能定理列式；彈簧水平放置時(shí)，對(duì)物塊從P到B和B到D分別根據(jù)動(dòng)能定理列式，聯(lián)立即可求解；

解答 解：（1）設(shè)P經(jīng)過D點(diǎn)時(shí)速度大小為${v}_{D}^{\;}$，物塊從D點(diǎn)開始做平拋運(yùn)動(dòng)：
$4l={v}_{D}^{\;}t$
$2l=\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}$
解得：${v}_{D}^{\;}=2\sqrt{gl}$
（2）當(dāng)彈簧豎直放置，設(shè)彈簧被壓縮至l時(shí)彈簧彈性勢能為${E}_{P}^{\;}$，由動(dòng)能定理得：
$5mgl-{E}_{P}^{\;}=0$
設(shè)小物塊P通過B點(diǎn)速度為${v}_{B}^{\;}$，物塊從B點(diǎn)到D點(diǎn)的過程中，由動(dòng)能定理得：
$-2mgl=\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
設(shè)小物塊P與水平軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，物塊P從釋放到運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)的過程中，由動(dòng)能定理：
${E}_{P}^{\;}-5μmgl=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
解得：μ=0.2
答：（1）P經(jīng)過D點(diǎn)時(shí)速度的大小為$2\sqrt{gl}$，
（2）小物塊P與水平軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.2

點(diǎn)評(píng) 解決本題時(shí)要抓住彈簧的形變量相等時(shí)彈性勢能相等這一隱含的條件，正確分析受力情況和做功情況，分段運(yùn)用動(dòng)能定理和平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律列式是關(guān)鍵．