Question

如圖是放置在豎直平面內(nèi)游戲滑軌的模擬裝置，滑軌由四部分粗細(xì)均勻的金屬桿組成：光滑水平直軌AB，半徑分別為R₁=1.0m和R₂=3.0m的光滑弧形軌道，傾斜直軌CD長(zhǎng)為L(zhǎng)=6m，AB、CD與兩圓形軌道相切．有質(zhì)量為m=2kg的小球穿在滑軌上，小球與CD桿間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=

1

6

，現(xiàn)給小球v₀=10m/s的初速度從AB的中點(diǎn)E處水平向左開(kāi)始運(yùn)動(dòng)．已知θ=37°，（取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）
求：（1）小球第一次通過(guò)O₂弧形軌道的最低點(diǎn)F處時(shí)對(duì)軌道的壓力；
（2）小球從E點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，經(jīng)過(guò)C 點(diǎn)的次數(shù)．

Answer 1

分析：（1）小球從E滑到F過(guò)程中，滿足機(jī)械能守恒，再由牛頓第二定律列出向心力表達(dá)式，從而求出小球在最低點(diǎn)F處時(shí)對(duì)軌道的壓力；
（2）由功的表達(dá)式求出小球每次克服摩擦力做的功；再由初動(dòng)能來(lái)確定小球能回到E點(diǎn)多少次；由動(dòng)能定理來(lái)求出第7次到達(dá)C點(diǎn)的動(dòng)能，從而可確定小球經(jīng)過(guò)C點(diǎn)的次數(shù)．

解答：解：（1）小球從E到B點(diǎn)，再滑到F點(diǎn)的過(guò)程中，
根據(jù)機(jī)械能守恒得：

1

2

mv02+mg△h=

1

2

mvF2
在F點(diǎn)對(duì)滑環(huán)分析受力，得FN-mg=m

vF2

R2

   
得：FN=

500

3

N
根據(jù)牛頓第三定律得小球?qū)�軌道的壓力�?span id="uyqmzmm" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

500

3

N 
（2）小球每通過(guò)一次克服摩擦力做功為：W_克=μmgLcosθ=16J
小球恰好越過(guò)A點(diǎn)的速度為0，設(shè)小球能到達(dá)A點(diǎn)的次數(shù)為n，則：
Ek0=

1

2

m

v

2 0

n=

Ek0

W克

=6.25
分析可得小球能回到E點(diǎn)6次 
設(shè)小球第7次到C點(diǎn)的動(dòng)能為E_K，
則：EK-

1

2

m

v

2 0

=mg(R1+R1cosθ)-μmgLcosθ
解得：E_K=24J
即小球第7次沖過(guò)C點(diǎn)后返回，沿CD段滑下，以后小球再不能達(dá)到C點(diǎn)，所以小球共8次經(jīng)過(guò)C點(diǎn)．  
答：：（1）小球第一次通過(guò)O₂弧形軌道的最低點(diǎn)F處時(shí)對(duì)軌道的壓力

50

3

N；
（2）小球從E點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，經(jīng)過(guò)C點(diǎn)的次數(shù)為8次．

點(diǎn)評(píng)：本題考查機(jī)械能守恒定律、牛頓第二定律、向心力表達(dá)式、求功表達(dá)式、動(dòng)能定理等規(guī)律，注意第（1）問(wèn)小球在弧形軌道的最低點(diǎn)F處時(shí)對(duì)軌道的壓力，而不在此處的支持力，所以要用牛頓第三定律，同時(shí)在處理第二個(gè)問(wèn)題時(shí)，還有一種解法：
第（2）也可以這樣解：假設(shè)小球到達(dá)C點(diǎn)的速度恰好為0時(shí)，小球經(jīng)過(guò)CD段的次數(shù)為N，則：
   0-

1

2

m

v

2 0

=mg(R1+R1cosθ)-NμmgLcosθ
解得：N=8.5次，
即小球8次經(jīng)過(guò)CD段到達(dá)D點(diǎn)，第9次沖上DC 時(shí)，沒(méi)能沖到C點(diǎn)，所以小球共8次經(jīng)過(guò)C點(diǎn)．