Question

12．如圖所示，被長為L的細(xì)繩系著的小球，能使O點(diǎn)在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，O點(diǎn)離地面的豎直高度為h=3L，如果繩受到的拉力等于小球所受重力的5倍時(shí)，就會(huì)斷裂，那么當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的速度多大時(shí)，繩剛好斷裂，小球飛出后落地點(diǎn)距O點(diǎn)的水平距離為多少？

Answer 1

分析 （1）小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)繩恰好斷裂時(shí)，繩的拉力等于小球重力的5倍．重力和拉力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出速度．
（2）繩斷后小球做平拋運(yùn)動(dòng)，此時(shí)小球離地高度為2L，豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，由高度求出時(shí)間，小球水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由初速度和時(shí)間求出小球飛出后落地點(diǎn)距O點(diǎn)的水平距離．

解答 解：當(dāng)運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，據(jù)牛頓第二定律得
  $T-mg=m\frac{{v}^{2}}{L}$
當(dāng)繩的拉力達(dá)到5mg時(shí)繩斷裂，即T=5mg則 
解得速度v=$2\sqrt{gL}$
繩斷后小球做平拋運(yùn)動(dòng)
H=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
又H=h-L得   t=$\sqrt{\frac{4L}{g}}$
小球飛出后落地點(diǎn)距O點(diǎn)的水平距離$x=vt=2\sqrt{gL}•\sqrt{\frac{4L}{g}}=4L$
答：當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的速度為$2\sqrt{gL}$時(shí)，繩剛好斷裂，小球飛出后落地點(diǎn)距O點(diǎn)的水平距離為4L．

點(diǎn)評(píng) 本題是牛頓第二定律、向心力和平拋運(yùn)動(dòng)的綜合，抓住繩子剛斷時(shí)的臨界條件是：繩子拉力達(dá)到最大值．