Question

14．如圖所示，光滑、足夠長、不計電阻，軌道間距分別為l₁和l₂（l₁=2l₂）的平行金屬導軌CD、EF和MN、PQ，水平放在豎直向下的磁感應強度為B的勻強磁場中，在軌道間距為l₁勻強磁場區(qū)的左邊界垂直于導軌放置一質(zhì)量為m、電阻為R₁的金屬棒a（長度略大于l₁），在軌道間距為l₁勻強磁場區(qū)的另一位置，垂直于導軌放置另一質(zhì)量也為m、電阻分布均勻阻值為R₂的金屬棒b（長度略大于l₁）．開始時b靜止在軌道間距為l₁的勻強磁場中，給a一個向右的初速度V₀后a、b開始運動，設(shè)運動過程中，二金屬 棒總是與導軌垂直．
（1）求金屬棒a獲得初速度V₀的瞬間金屬棒b兩端的電壓；
（2）設(shè)金屬棒b在軌道間距為l₁勻強磁場區(qū)的右邊界前已經(jīng)達到最大速度，求金屬棒b的最大速度值；
（3）金屬棒b進入軌道間距l(xiāng)₂勻強磁場區(qū)后，金屬棒b再次達到勻速運動狀態(tài)，設(shè)這時金屬棒a仍然在軌道間距為l₁勻強磁場區(qū)中，求金屬棒b進入軌道間距l(xiāng)₂勻強磁場區(qū)后金屬棒a、b中產(chǎn)生的總焦耳熱．

Answer 1

分析 （1）由法拉第電磁感應定律求的產(chǎn)生的感應電動勢，由閉合歐姆定律求的電壓；
（2）根據(jù)動量守恒求的達到的最大速度；
（3）利用動量定理和能量守恒即可求得；

解答 解：（1）金屬棒a獲得速度瞬間產(chǎn)生的感應電動勢為：E=Bl₁v₀
有閉合電路的歐姆定律得b兩端的電壓為：$U=\frac{E}{{R}_{1}+{R}_{2}}•{R}_{2}=\frac{B{l}_{1}{v}_{0}{R}_{0}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$
（2）ab棒最后做勻速運動，故ab棒產(chǎn)生的感應電動勢大小相同，故Bl₁v_a=Bl₁v_b，
解得：v_a=v_b
選向右為正方向，對ab棒組成的系統(tǒng)而言，動量守恒可得：mv₀=2mv
解得：v=$\frac{{v}_{0}}{2}$
故達到的共同最大速度為v=$\frac{{v}_{0}}{2}$
（3）當金屬棒b再次達到勻速運動狀態(tài)，整個回路中電流為零，故ab棒產(chǎn)生的感應電動勢大小相同，即：Bl₁v_a=Bl₂v_b
解得：$\frac{{v}_{a}}{{v}_}=\frac{{l}_{2}}{{l}_{1}}=\frac{1}{2}$
選向右為正方向，在整個過程中由動量定理，對a，則有：2F_At=m（v_a-$\frac{{v}_{0}}{2}$）
對b，則有：F_At=m（v_b-$\frac{{v}_{0}}{2}$）
聯(lián)立解得：v_a=$\frac{{v}_{0}}{6}$，v_b=$\frac{{v}_{0}}{3}$
在整個過程中由能量守恒可知：Q=$\frac{1}{2}•2m（\frac{{v}_{0}}{2}）^{2}-\frac{1}{2}m（\frac{{v}_{0}}{6}）^{2}-\frac{1}{2}m（\frac{{v}_{0}}{3}）^{2}$=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{40}$
答：（1）金屬棒a獲得初速度V₀的瞬間金屬棒b兩端的電壓$\frac{B{l}_{1}{v}_{0}{R}_{0}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$；
（2）設(shè)金屬棒b在軌道間距為l₁勻強磁場區(qū)的右邊界前已經(jīng)達到最大速度，金屬棒b的最大速度值為$\frac{{v}_{0}}{2}$；
（3）金屬棒b進入軌道間距l(xiāng)₂勻強磁場區(qū)后金屬棒a、b中產(chǎn)生的總焦耳熱為$\frac{m{v}_{0}^{2}}{40}$

點評 本題主要考查了導體切割磁感線產(chǎn)生感應電動勢，利用好閉合電路的歐姆定律及能量守恒即可