Question

如圖（甲）所示，兩根足夠長的光滑平行金屬導(dǎo)軌相距為L₁=0.4m，導(dǎo)軌平面與水平面成θ=30⁰角，下端通過導(dǎo)線連接阻值R=0.6Ω的電阻．質(zhì)量為m=0.2kg、阻值r=0.2Ω的金屬棒ab放在兩導(dǎo)軌上，棒與導(dǎo)軌垂直并保持良好接觸，整個(gè)裝置處于垂直導(dǎo)軌平同 向上的磁場中，取g=lOm/s²．

（1）若金屬棒距導(dǎo)軌下端L₂=0.5m，磁場隨時(shí)間變化的規(guī)律如圖（乙）所示，為保持金屬棒靜止，試求加在金屬棒中央、沿斜面方向的外力隨時(shí)問變化的關(guān)系
（2）若所加磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小恒為B’，通過額定功率Pm=l OW的小電動機(jī)對金屬棒施加沿斜面向上的牽引力，使其從靜止開始沿導(dǎo)軌做勻加速直線運(yùn)動，經(jīng)過 0.5s電動機(jī)達(dá)到額定功率，此后電動機(jī)功率保持不變．金屬棒運(yùn)動的v-t圖象如圖（丙）所示．試求磁感應(yīng)強(qiáng)度B’的大小和0.5s內(nèi)電動機(jī)牽引力的沖量大�。�

Answer 1

分析：（1）為保持金屬棒靜止，合力必須為零，沿導(dǎo)軌方向外力F、重力的分力和安培力必須平衡．由乙圖知，B均勻增大，回路中產(chǎn)生恒定的感應(yīng)電流，根據(jù)法拉第定律、歐姆定律和安培力公式，結(jié)合平衡條件求外力F的表達(dá)式．
（2）由圖丙知，金屬棒運(yùn)動的最大速度為v_m=5m/s，此時(shí)棒做勻速運(yùn)動，合力為零，根據(jù)法拉第定律、歐姆定律和安培力公式，以及功率公式P=Fv求B′．
在0-0.5s內(nèi)，棒做勻加速運(yùn)動，由牛頓第二定律列式求出0.5s時(shí)的速度，由動量定理求出0.5s內(nèi)的沖量．

解答：解：（1）金屬棒沿斜面方向受力平衡，由圖乙知，B均勻減小，根據(jù)楞次定律可知，棒所受的安培力沿斜面向下，要保持棒靜止，外力應(yīng)沿斜面向上，設(shè)其大小為F，則
   F-mgsinθ-BIL₁=0…①
由圖乙可知，t時(shí)刻磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小可表示為 B=2.5t T…②
t時(shí)刻，回路中的感應(yīng)電動勢 E=

△Φ

△t

=

△B

△t

S=

△B

△t

L₁L₂…③
此時(shí)回路中的感應(yīng)電流為 I=

E

R+r

…④
由圖乙知：

△B

△t

=2.5T/s…⑤
聯(lián)立①～⑤式得 F=（1+0.625t）N
（2）由圖丙可知，金屬棒運(yùn)動的最大速度為v_m=5m/s，此時(shí)棒做勻速運(yùn)動，合力為零．
設(shè)金屬棒此時(shí)所受的拉力大小為F₁，流過棒中的電流為I_m，則
  F₁-mgsinθ-B′I_mL₁=0…⑥
又E_m=B′L₁v_m，I_m=

Em

R+r

，P_m=F₁v_m…⑦
由⑥⑦得：B′=1T
在0.5s時(shí)，設(shè)金屬棒所受的拉力大小為F₂，加速度為a，運(yùn)動的速度大小為v₂，流過金屬棒的電流為I₂，根據(jù)牛頓第二定律得
  F₂-mgsinθ-B′I₂L₁=ma…⑧
又E₂=B′L₁v₂，I2=

E2

R+r

，P_m=F₂v₂，v₂=at…⑨
0.5s內(nèi)，由動量定理得：
 I_F-mgsinθ-I_B=mv₂…⑩
而安培力沖量I_B=

1

2

B′I2L1t…（11）
由⑧⑨⑩（11）聯(lián)立解得，I_F=

4

3

N?s
答：
（1）加在金屬棒中央、沿斜面方向的外力隨時(shí)問變化的關(guān)系為 F=（1+0.625t）N．
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B′的大小為1T，0.5s內(nèi)電動機(jī)牽引力的沖量大小是

4

3

N?s．

點(diǎn)評：本題是電磁感應(yīng)與力學(xué)知識的綜合應(yīng)用，還整合了電路、力學(xué)和電磁感應(yīng)中：歐姆定律、焦耳定律、動能定理等等多個(gè)知識點(diǎn)，還要理解圖象的物理意義，綜合性較強(qiáng)．