Question

【題目】“神舟”六號飛船完成了預定空間科學和技術試驗任務后，返回艙于2005年10月17日4時11分開始從太空向地球表面按預定軌道返回，在離地10km的高度打開阻力降落傘減速下降，這一過程中若返回艙所受阻力與速度的平方成正比，比例系數（空氣阻力系數）為k，設返回艙總質量M=3000kg，所受空氣浮力恒定不變，且認為豎直降落。從某時刻開始計時，返回艙的運動v-t圖象如圖中的AD曲線所示，圖中AB是曲線在A點的切線，切線交于橫軸一點B的坐標為（8，0），CD是平行橫軸的直線，交縱軸于C點C的坐標為（0，8）。g取10m/s2，請解決下列問題：

（1）在初始時刻v0=160m/s時，它的加速度多大？

（2）推證空氣阻力系數k的表達式并算出其數值。

（3）返回艙在距離高度h=1m時，飛船底部的4個反推力小火箭點火工作，使其速度由8m/s迅速減至1m/s后落在地面上，若忽略燃料質量的減少對返回艙總質量的影響，并忽略此階段速度變化而引起空氣阻力的變化，試估算每支小火箭的平均推力（計算結果取兩位有效數字）

Answer 1

【答案】（1）20m/s2（2）； 2.35kg/m（3）2.4×104N

【解析】試題分析：過A點切線的斜率為初始時刻的加速度；根據牛頓第二定律，列出當速度為160m/s時的牛頓第二定律表達式和當速度為8m/s時勻速運動的表達式，聯立兩方程組解出k；在距地高度h=1m前，返回艙已處于勻速運動狀態(tài)，返回艙所受浮力、阻力與重力的合力為零．減速運動的加速度由火箭推力產生，根據勻減速運動求出加速度，再根據牛頓第二定律求出每支小火箭的平均推力。

（1）根據速度圖象性質可知，在初始v0=160m/s時，過A點切線的斜率既為此時的加速度，設為a1，其大小為：

（2）由圖知，返回艙的v – t圖的斜率逐漸減小，最后是以v1=8m/s的速度作勻速運動。設返回艙所受空氣浮力為f，在t=0時， 根據牛頓第二定律則有：

速度為v1=8m/s時，返回艙受力平衡，即有：

由以上并代入數據解得：

（3）設每支小火箭的平均推力為F0，反推加速度大小為a2，著地速度為v2

由題意知，返回艙在距離地高度h=1m前，已處于勻速運動狀態(tài)。故返回艙在著地前的加速度由4個小火箭的反推力產生根據牛頓第二定律：

又由運動學公式知：

聯立以上并代入數據解得：