Question

16．游樂場中有一類似于過山車的設(shè)施．簡易模型如圖所示，它由傾角為α=37°的光滑斜面軌道、水平軌道和豎直平面內(nèi)的光滑圓形軌道組成，A、B分別是斜面與圓形軌道的最低點（且A處有一極小光滑圓弧與軌道相切），A、B兩點相距L=4.25m．一個質(zhì)量為m=0.1kg的小球（視為質(zhì)點），從斜面上距A點h=4.05m高處由靜止下滑，小球與水平軌道的動摩擦因數(shù)μ=0.2．假設(shè)水平軌道足夠長，不考慮斜面軌道與圓形軌道相互重疊時對小球運動的影響，sin37°=0.6，g取lOm/s²．求：
（1）若圓形軌道的半徑R=l.0m，則小球到達B點時的速度大小及對軌道的壓力大小：
（2）欲使小球不脫離軌道，在圓形軌道的設(shè)計中，半徑應(yīng)滿足的條件和小球最終停留點與B點的距離．

Answer 1

分析 （1）對小球的運動過程進行分析，運用動能定理求出最高點時的速度，并利用牛頓第二定律求出軌道對小球作用力；
（2）知道小球恰能通過圓形軌道的含義，再應(yīng)用動能定理研究整個過程求出兩種情況下的問題，再求小球最終停留點與B點的距離．

解答 解：（1）由動能定理，有mgh-μmgL=$\frac{1}{2}$mv_B²
代入數(shù)據(jù)解得：v_B=8.0m/s
由牛頓第二定律得：F_N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)解得：F_N=7.4N
由牛頓第三定律得，小球到達B點時對軌道的壓力大小${F}_{N}^{′}$=F_N=7.4N
（2）要保證小球不脫離軌道，可分兩種臨界情況進行討論：
Ⅰ．軌道半徑較小時，小球恰能通過圓形軌道，設(shè)在最高點的速度為v，應(yīng)滿足
由牛頓第二定律得：mg=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$
由功能關(guān)系得：$\frac{1}{2}$mv_B²=mg•R₁+$\frac{1}{2}$mv²
代入數(shù)據(jù)解得：R₁=1.28m
Ⅱ．軌道半徑較大時，小球上升的最大高度為R₂，
根據(jù)機械能守恒：$\frac{1}{2}$mv_B²=mg•R₂
代入數(shù)據(jù)解得：R₂=3.2 m
綜合Ⅰ、Ⅱ，要使小球不脫離軌道，則圓形軌道的半徑須滿足下面的條件
0＜R≤1.28 m或R≧3.2m
當0＜R≤1.28 m時，小球最終停留點與B點的距離為L'，則：-μmgL′=0-$\frac{1}{2}$mv_B²
解得：L'=16.0 m
當R≧3.2m時，小球最終停留點與B點的距離為L″，則
L″=L-（L'-3L）=1.0 m
答：（1）小球到達B點時的速度大小為8.0m/s；對軌道的壓力大小為7.4N；
（2）欲使小球不脫離軌道，在圓形軌道的設(shè)計中，半徑應(yīng)滿足的條件是0＜R≤1.28 m或R≧3.2m；小球最終停留點與B點的距離為1.0 m．

點評 選取研究過程，運用動能定理解題．動能定理的優(yōu)點在于適用任何運動包括曲線運動．知道小球恰能通過圓形軌道的含義以及要使小球不能脫離軌道的含義．