Question

（2010?杭州二模）如圖甲所示，在虛線框兩側(cè)區(qū)域存在有大小為B、方向分別為水平向左和水平向右的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．用薄金屬條制成的閉合正方形框aa′b′b邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，質(zhì)量為m，電阻為R．金屬方框水平放置于距磁場(chǎng)上邊界H處，由靜止開(kāi)始下落，其平面在下落過(guò)程中始終保持水平，當(dāng)其落人磁場(chǎng)后，aa′整邊、bb′整邊分別位于左、右兩邊的磁場(chǎng)中，方向均與磁場(chǎng)方向垂直，乙圖是從上向下看的俯視圖．（不計(jì)空氣阻力）．
（1）求方框下落的最大速度v_m（設(shè)磁場(chǎng)區(qū)域在豎直方向足夠長(zhǎng)）；
（2）當(dāng)方框下落的速度為v時(shí)，求此時(shí)方框內(nèi)感應(yīng)電流的功率P；
（3）從進(jìn)入磁場(chǎng)開(kāi)始計(jì)時(shí)經(jīng)過(guò)時(shí)間t，方框在磁場(chǎng)中下落了高度h，速度達(dá)到v_t．若在這段時(shí)間內(nèi)感應(yīng)電流做的功與一恒定電流，I₀在t時(shí)間內(nèi)在該框內(nèi)做的功相同，求恒定電流l₀的表達(dá)式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)公式，結(jié)合安培力等于重力，從而求出在磁場(chǎng)中速度，再由v₀與v′比較大小，從而確定求解；
（2）根據(jù)電功率表達(dá)式，當(dāng)方框下落的速度為 v 時(shí)，即可求解；
（3）根據(jù)能量轉(zhuǎn)化守恒關(guān)系，與焦耳定律，即可求解．

解答：解：（1）根據(jù)自由落體公式：v²=2gH，
可得方框剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度：v₀=

2gH

，
令方框在磁場(chǎng)中達(dá)到穩(wěn)定時(shí)速度為v′，則有：
mg=BI×2L=

2BLv′

R

B×2L  
可得：v′=

mgR

4B2L2

，
若v₀≥v′，則方框進(jìn)入磁場(chǎng)后做加速度變小減速運(yùn)動(dòng)，其最大速度為：v₀=

2gH

；
若v₀＜v′，則方框進(jìn)入磁場(chǎng)后做加速度變小加速運(yùn)動(dòng)，其最大速度為：v′=

mgR

4B2L2

；
（2）當(dāng)方框下落的速度為 v 時(shí)，方框內(nèi)感應(yīng)電流的功率：P=I²R=4

B2L2v2

R

；
（3）根據(jù)能量轉(zhuǎn)化的關(guān)系可得：mg（H+h）=

1

2

mv_t²+I₀²Rt
因此等效電流：I₀=

mg(H+h)- 1 2 m v 2 t Rt

．
答：（1）當(dāng)v₀≥v′，則方框下落的最大速度v_m=

2gH

；當(dāng)v₀＜v′，則方框下落的最大速度v_m═

mgR

4B2L2

；
（2）當(dāng)方框下落的速度為v時(shí)，此時(shí)方框內(nèi)感應(yīng)電流的功率P=4

B2L2v2

R

；
（3）恒定電流l₀的表達(dá)式I₀=

mg(H+h)- 1 2 m v 2 t Rt

．

點(diǎn)評(píng)：考查運(yùn)動(dòng)學(xué)公式的應(yīng)用，掌握安培力表達(dá)式及受力平衡條件，理解電功率表達(dá)式與能量轉(zhuǎn)化與守恒定律的應(yīng)用，注意安培力的方向，同時(shí)根據(jù)進(jìn)入磁場(chǎng)的速度大小不同而分情況討論．