Question

11．變化的磁場(chǎng)可以激發(fā)感生電場(chǎng)，電子感應(yīng)加速器就是利用感生電場(chǎng)使電子加速的設(shè)備．它的基本原理如圖所示，上、下為兩個(gè)電磁鐵，磁極之間有一個(gè)環(huán)形真空室，電子在真空室內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)．電磁鐵線圈電流的大小、方向可以變化，在兩極間產(chǎn)生一個(gè)由中心向外逐漸減弱、而且變化的磁場(chǎng)，這個(gè)變化的磁場(chǎng)又在真空室內(nèi)激發(fā)感生電場(chǎng)，其電場(chǎng)線是在同一平面內(nèi)的一系列同心圓，產(chǎn)生的感生電場(chǎng)使電子加速．圖1中上部分為側(cè)視圖、下部分為俯視圖．已知電子質(zhì)量為m、電荷量為e，初速度為零，電子圓形軌道的半徑為R．穿過電子圓形軌道面積的磁通量Φ隨時(shí)間t的變化關(guān)系如圖2所示，在t₀ 時(shí)刻后，電子軌道處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₀，電子加速過程中忽略相對(duì)論效應(yīng)．

（1）求在t₀ 時(shí)刻后，電子運(yùn)動(dòng)的速度大小；
（2）求電子在整個(gè)加速過程中運(yùn)動(dòng)的圈數(shù)；
（3）電子在半徑不變的圓形軌道上加速是電子感應(yīng)加速器關(guān)鍵技術(shù)要求．試求電子加速過程中電子軌道處的磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間變化規(guī)律．
當(dāng)磁場(chǎng)分布不均勻時(shí)，可認(rèn)為穿過一定面積的磁通量與面積的比值為平均磁感應(yīng)強(qiáng)度$\overline B$．請(qǐng)進(jìn)一步說明在電子加速過程中，某一確定時(shí)刻電子軌道處的磁感應(yīng)強(qiáng)度與電子軌道內(nèi)的平均磁感應(yīng)強(qiáng)度的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）電子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)在做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，即可求出粒子運(yùn)動(dòng) 的速度；
（2）由動(dòng)能定理求出電子獲得的總動(dòng)能以及電子加速一周獲得的動(dòng)能，二者之比即為所求；
（3）由法拉第電磁感應(yīng)定律得出感生電場(chǎng)的大小，由牛頓第二定律求出加速度，由v=at得出速度，再結(jié)合洛倫茲力提供向心力即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）在t₀ 時(shí)刻后，電子軌道處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₀，電子在磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，受到洛倫茲力等于向心力  $e{v_0}{B_0}=m\frac{v_0^2}{R}$
${v_0}=\frac{{e{B_0}R}}{m}$
（2）加速后電子的動(dòng)能為 ${E_K}=\frac{1}{2}mv_0^2=\frac{{{e^2}B_0^2{R^2}}}{2m}$①
感生電場(chǎng)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)${E_感}=\frac{ϕ_0}{t_0}$②
電子加速運(yùn)動(dòng)一圈獲得的能量為W=eE_感③
電子在整個(gè)加速過程中運(yùn)動(dòng)的圈數(shù)為$n=\frac{{{E_K}-0}}{W}$④
聯(lián)立①②③④得$n=\frac{{eB_0^2{R^2}{t_0}}}{{2m{ϕ_0}}}$
（3）感生電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度$E=\frac{E_感}{2πR}$⑤
電子加速的加速度$a=\frac{eE}{m}$⑥
t時(shí)刻電子的速度為v=at⑦
此時(shí)電子作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)受到洛倫茲力等于向心力$evB=m\frac{v^2}{R}$⑧
聯(lián)立②⑤⑥⑦⑧得$B=\frac{ϕ_0}{{2π{R^2}{t_0}}}t$⑨
t時(shí)刻的電子軌道內(nèi)的磁通量為$ϕ=\frac{ϕ_0}{{t_0^{\;}}}t$
t時(shí)刻的電子軌道內(nèi)的平均磁感應(yīng)強(qiáng)度為$\overline B=\frac{ϕ}{{π{R^2}}}=\frac{ϕ_0}{{π{R^2}t_0^{\;}}}t$⑩
所以由⑨⑩得，t時(shí)刻電子軌道處的磁感應(yīng)強(qiáng)度與電子軌道內(nèi)的平均磁感應(yīng)強(qiáng)度的關(guān)系為$B=\frac{\overline{B}}{2}=\frac{{ϕ}_{0}}{2π{R}^{2}{t}_{0}}t$
答：（1）在t₀ 時(shí)刻后，電子運(yùn)動(dòng)的速度大小是$\frac{e{B}_{0}R}{m}$；
（2）電子在整個(gè)加速過程中運(yùn)動(dòng)的圈數(shù)是$\frac{e{B}_{0}^{2}{R}^{2}{t}_{0}}{2m{ϕ}_{0}}$；
（3）電子加速過程中電子軌道處的磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間變化規(guī)律是$B=\frac{{ϕ}_{0}}{2π{R}^{2}{t}_{0}}t$．

點(diǎn)評(píng) 該題中，以電子感應(yīng)加速器利用感生電場(chǎng)使電子加速的原理為紐帶，將帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)與法拉第電磁感應(yīng)定律結(jié)合在一起，充分考查帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，以及帶電粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，是一道理論聯(lián)系實(shí)際的好題．