Question

【題目】如圖所示，以O為圓心、半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)存在垂直圓面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，一粒子源位于圓周上的M點(diǎn)，可向磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)垂直磁場(chǎng)沿各個(gè)方向發(fā)射質(zhì)量為m、電荷量為的粒子，不計(jì)粒子重力，N為圓周上另一點(diǎn)，半徑OM和ON間的夾角，且滿足．

若某一粒子以速率v，沿MO方向射入磁場(chǎng)，恰能從N點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)，求此粒子的速率移v；

若大量此類粒子以速率，從M點(diǎn)射入磁場(chǎng)，方向任意，則這些粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為多少？

若由M點(diǎn)射入磁場(chǎng)各個(gè)方向的所有粒子速率均為題中計(jì)算出的，求磁場(chǎng)中有粒子通過(guò)的區(qū)域面積．

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）

【解析】

(1)某一粒子以速率，沿MO方向射入磁場(chǎng)，恰能從N點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)，由幾何關(guān)系求得其做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，由洛倫茲力提供向心力求出入射速度。

(2)某一粒子以速率從M點(diǎn)射入磁場(chǎng)，粒子在磁場(chǎng)中的半徑為，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)時(shí)，弧長(zhǎng)（劣弧）最長(zhǎng)，對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)最長(zhǎng)（磁場(chǎng)圓的直徑）。

(3)若由M點(diǎn)射入磁場(chǎng)各個(gè)方向的所有粒子速率均為，這些粒子在磁場(chǎng)中有相同的半徑，則圓心軌跡是以M為圓心、半徑為的圓。試著畫(huà)出極端情況下粒子能達(dá)到的區(qū)域，從而把粒子能到達(dá)的整個(gè)區(qū)域面積求出來(lái)。

(1) 粒子以速率沿MO方向射入磁場(chǎng)，恰能從N點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)，軌跡如圖：

設(shè)軌跡半徑為，則，解得：

由牛頓第二定律可得，解得：

(2) 大量此類粒子以速率從M點(diǎn)射入磁場(chǎng)

由牛頓第二定律可得，解得：

粒子方向任意，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)時(shí)，弧長(zhǎng)（劣弧）最長(zhǎng)，對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)最長(zhǎng)（磁場(chǎng)圓的直徑），軌跡如圖：

則，解得：

粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間

(3)粒子沿各個(gè)方向以進(jìn)入磁場(chǎng)做勻速圓周時(shí)的軌跡半徑都為，且不變。由圖可知，粒子在磁場(chǎng)中通過(guò)的面積S等于以O3為圓心的半圓形MO3O的面積S1、以M為圓心的扇形MOQ的面積S2和以O點(diǎn)為圓心的圓弧MQ與直線MQ圍成的面積S3之和。

、、

所以